Transformationsmatrix zum Spiegeln an Gerade

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Leute,

ich muss mich zur Zeit berufsbedingt wieder mit Matrizen- und Vektorrechnung befassen. Da ich seit dem 2. Semester dieses Thema hinter mir gelassen habe muss ich mich jetzt von Grund auf wieder einlesen.

Nun zu meiner Frage:

Ich sitze seit einiger Zeit an einer Aufgabe aber bin von der Lösung noch weit entfernt.

Gegeben ist eine Gerade in Punkt-Richtungsform:
klick mich

Die Aufgabe:
Man soll nun eine Transformationsmatrix bestimmen, so dass durch Multiplikation mit dieser Transformationsmatrix jeder beliebige Punkt an der gegebenen Geraden gespiegelt wird.

Wie gehe ich da am besten vor? Ich hab mir gedacht man könnte die Gerade zuerst so verschieben, dass sie durch den Ursprung verläuft, danach so rotieren, dass sie auf der X-Achse liegt, dann spiegeln und nun wieder zurück rotieren und zurück verschieben. Leider weiß ich nicht so recht ob meine Denkweise richtig ist oder wie man die einzelnen Transformationsschritte dann letztendlich ausführt. Google hat mir leider auch keine mir verständliche Erklärung ausgespuckt.

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar :smile:

P.S. Kennt vielleicht jemand ein gutes Tutorial um in der Matrizen- und Vektorrechnung wieder etwas Fuß zu fassen?

#2

Hallo,

dein Ansatz ist schon ein guter Weg. Ich nehme an, das ganze bezieht sich auf die Computergrafik, wo du auch homogene 3x3-Matrizen benutzt und nicht nur die linearen 2x2.
Die erste Transformation, also die Verschiebung ist ziemlich einfach. Diese wird einfach in der letzten Spalte angegeben:
T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Danach kommt die Drehung. Das ist eine einfache lineare Abbildung, also kannst du diese durch Bestimmung der Bilder der Basisvektoren ausrechnen. Ist jetzt nicht der schönste Winkel, deswegen rechne ich die Werte jetzt nicht aus…
Jedenfalls kommt dann in die erste Spalte der gedrehte Vektor(1|0) und in die zweite der gedrehte (0|1)-Vektor:
T_2 = \begin{pmatrix} a & c & 0 \ b & d & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Dann noch die Spiegelung:
T_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Und zum Schluss das ganze noch zusammenfassen mit den jeweils Inversen noch daran:
T = {T_1}^{-1}*{T_2}^{-1}*T_3*T_2*T_1
Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo vertan. Ist die Vorgehensweise klar?

Nico

#3

Hallo Nico,

Ich nehme an, das ganze
bezieht sich auf die Computergrafik, wo du auch homogene
3x3-Matrizen benutzt und nicht nur die linearen 2x2.

Ja da hast du recht.

Ich kann mich nur vielmals bei dir bedanken. Deine Antwort hat mir sehr geholfen :smile:

Beste Grüße

Tanja