was ist eine transversal orientierte fläche?
gibt es logitudinale auch? wie kann man flächen einteilen?
Hallo,
keine Ahnung nach welchen Kriterien dies jetzt erfolgt. Vielleicht bezogen auf auf den Normalenvektor einer Flaeche, wenn man sich die Vektoren z.B. als „Begleitendes Dreibein“ an einer Raumkurve angelegt denkt.
CU
in welchem zusammenhang kommt es denn vor?
topologische Flächenklassifizierung
„transversal“ und „orientierbar“ sind Begriffe aus der Topologie.
Flächen sind n-1-dim. Mannigfaltigkeiten M(n-1), die man in n-dim Mannigfaltigkeiten M(n) „einbetten“ kann. Dabei gibt es Eigenschaften der M(n-1), die unabhängig von ihrer Einbettung in M(n) sind - diese nennt man INTRINSISCHE Eigenschaften. Außerdem haben sie noch Eigenschaften, die von der Art ihrer Einbettung abhängen - diese nennt man EXTRINSISCHE Eigenschaften.
Beispiel: n = 3 , dann ist M(2) das, was wir normalerweise unter einer Fläche verstehen. Und wir können nun betrachten, wie diese Fläche in einer M(3) eingebettet ist, d.h. wie sie im Raum liegt…
Die intrinsischen Eigenschaften von Flächen dienen ihrer Klassifizierung.
Eine intrinsische Eigenschaft (die wichtigste) von Flächen ist ihre ORIENTIERBARKEIT. Eine Fläche ist „orientierbar“, wenn es KEINEN GESCHLOSSENEN Weg in ihr gibt, längs dessen sich ein definierter Drehsinn ändert. Du definierst zu einem Punkt z.B. den Uhrzeigerdrehsinn und läßt den Punkt entlang beliebiger geschlossener Wege wandern - kommt er auf JEDEM Weg am Ausgangspunkt an, OHNE daß sich der Drehsinn umgekehrt hat, dann ist die Fläche ORIENTIERBAR. Gibt es aber EINEN geschlossenen Weg, bei der sich der Drehsinn umkehrt (Gegen-Uhrzeigersinn), dann ist sie NICHT-ORIENTIERBAR.
Zylinderflächen, Kugelsphären, Ebenen sind orientierbar. Das Möbiusband ist nicht-orientierbar - die Uhrzeiger laufen nach 1 Umlauf längs des Bandes links herum.
Eine extrinsiche Eigenschaft einer Fläche ist ihre Ein- oder Zweiseitigkeit.
Dazu definierst du zu dem Punkt mit dem definierten Drehsinn einen Pfeil, der orthogonal auf der Fläche steht. Bei der Wanderung auf einem geschlossenen Weg bleibt der Pfeil auf einer Zylinderfläche oder einer Kugel, wenn man sie im (anschaulichen) 3-dim. Raum betrachtet, immer auf der ursprünglichen Seite der Fläche. Bei einem Möbiusband zeigt er aber nach einem Umlauf längs der Fläche in die entgegengesetze Richtung.
Wenn du ein Möbiusband mit einem Papierstreifen herstellst und mit einem Stift von einem Ausgangspunkt aus auf dem Band entlangfährst, erscheint der Stift nach einem Umlauf auf der „anderen“ Seite des Streifens, OHNE daß er etwa über den Rand der Fläche auf die andere Seite gekippt wäre. Erst nach ZWEI Umläufen kommt er wieder in der ursprünglichen Lage im Ausgangspunkt an: Dieser Paperstreifen hat also nur EINE Seite…
Ob eine Fläche ein- oder zweiseitig ist, hängt also von der Eigenschaft des Raumes ab, in dem sie liegt, es ist eine „äußere“ Eigenschaft: ein 2-dimensionales Wesen, das IN der Fläche lebt, könnte diese Eigenschaft nicht untersuchen und somit nicht entscheiden.
Es gibt
- orientierbare zweiseitge Flächen
- nicht-orientiebare einseitige Flächen
- orientierbare einseitige Flächen
- nicht-orientierbare zweiseitge Flächen
Eine transversal orientierbare Fläche liegt im Raum zweiseitig. Der Ausdruck „transversal“ hängt mit einer topologischen Methode der Flächenuntersuchung zusammen, die man „simpliziale (Zell)-Zerlegung“ nennt, die es ermöglicht, Flächeneigenschaften rein rechnerisch zu ermitteln. Dabei gibt es zu einer Zellzerlegung sog. „duale“ Zellen, die die mathematische Repräsentation des Pfeiles darstellen. Diese (dualen) Zellen nennt man die TRANSVERSALEN Zellen der untersuchten Fläche.
(Einen dazu komplementären Ausdruck „longitudinal“ gibt es nicht)
Gruß
M.G.
was ist eine transversal orientierte fläche?
gibt es logitudinale auch? wie kann man flächen einteilen?
es geht dabei um strömungen durch eine „tranversal orientierte fläche“ bzw. um ladungen innerhalb eines „transversal orientierten volumens“.
orientiertes Volumen
Donnerwetter, das sind ja spannende Untersuchungen, die du da machst… ich hatte mein Posting oben gerade abgeschickt, bevor ich deins hier las…
es geht dabei um strömungen durch eine „tranversal orientierte
fläche“ bzw. um ladungen innerhalb eines „transversal
orientierten volumens“.
Nach einem Satz der Topologie liegt in einer orientierbaren M(n) eine orientierbare M(n-1) immer zweiseitig, eine nicht-orientierbare M(n-1) immer einseitig.
Ein orientierbares Volumen ist also eine Teilmenge eines 3-dim Zahlenraums. Eine orientierbare Fläche darin liegt also jedenfalls zweiseitig, ist also automatisch transversal orientierbar.
Daß du von „orientiert“ sprichst und nicht von „orientierbar“, irritiert ich etwas. Es kann nur bedeuten, daß in einer orientierbaren Fläche eine Drehrichtung definiert ist…
Gruß
M.G.
Eine transversal orientierbare Fläche liegt im Raum
zweiseitig. Der Ausdruck „transversal“ hängt mit einer
topologischen Methode der Flächenuntersuchung zusammen, die
man „simpliziale (Zell)-Zerlegung“ nennt,
Wobei transversal auch einfach „gut“ schneiden bedeuten kann, ein transversales Vektorfeld auf einer Hyperfläche (codim=1) wäre eines, welches in keinem Punkt in der Tangentialebene der Fläche liegt, diese also „echt schneidet“. Existiert ein solches Vektorfeld, dann kann eine äußere Orientierung der Fläche definiert werden, also was oben und unten ist. Das heißt nicht notwendigerweise, daß man auch eindeutig sagen kann, was links- und rechtsdrehend ist, wie schon ausgeführt.
Kurz: transversalität kommt aus der Schnittheorie, und jenachdem ob man topologische oder diff’bare Mannigfaltigkeiten hat, muß man Zellkomplexe oder kann auch Tangentialräume betrachten.
Ciao Lutz
PS: Immer empfehlenswert bei dem Thema
Golubitsky, M.; Guillemin, V.
Stable mappings and their singularities. 2nd corr. printing. (English)