Wie funktioniert die Technik (Trennung von Variablen)
Beispiel:
y’*y²=0 oder y’*y=5 oder dN/dt=-2N
Kann mir einer erkläre wie diese mathematische Verfahren funktioniert
Wie funktioniert die Technik (Trennung von Variablen)
Die Variablen die abgeleitet werden und diejenigen, nach denen abgeleitet wird, müssen auf verschiedene Seiten der Gleichung.
y’*y²=0
Wenn y’=dy/dx ist, dann wird mit dx multipliziert:
y²·dy=0
y’*y=5
Dasselbe in grün:
y·dy=5·dx
dN/dt=-2N
Hier wird mit dt multipliziert und durch N dividiert:
dN/N=-2·dt
Die Lösung der Differentialgleichungen erhält man dann, indem man auf beiden Seiten integriert.
Hi MrStupid! Hi Dennis!
Wenn y’=dy/dx ist, dann wird mit dx multipliziert:
Lasst das bloss keinen Mathematiker hoeren, der beisst Euch den Kopf ab. Dieses „mit dem Differential multiplizieren“ ist nur was fuer Physiker und Leute, die ergebnisorientiert DGL-en. 
Btw, ich bin auch Physiker - also lasst Euch nicht stoeren beim ausmultiplizieren…
Ciao Christoph C>
Hallo Dennis,
Wie funktioniert die Technik (Trennung von Variablen)
also, ich BIN Mathematiker und halte daher wenig vom ‚rummultiplizieren von Teilen von Symbolen. Das geht schwer in Richtung "Guck‘ mal, das Pluszeichen sieht doch aus wie zwei Minuszeichen, nur daß das eine senkrecht zum anderen ist…" *g*
Was du eigentlich suchst, sind totale Differenziale.
Beispiel:
y’*y²=0 oder y’*y=5 oder dN/dt=-2N
- Du suchst eine Funktion g(y) für die gilt: d/dt g(y) = y’ * y^2. Nach Kettenregel gilt d/dt g(y) = g’(y) * y’, also ist g’(y) = y^2 oder g(y) = 1/3 y^3 + const. Damit hast du dann (1/3 * y^3 + const)’ = y’ * y^2 = 0, das kannst du integrieren und erhälst 1/3 * y^3 + const = const oder y = const.
Das verwundert aber nicht wirklich; das Produkt ist hier genau dann Null, wenn einer der Summanden verschwindet. y’ verschwindet, wenn y = const ist, y^2 verschwindet, wenn y identisch Null ist, was inbesondere eine Konstante ist.
-
y’ * y = 5. Gleiches Vorgehen. Hier ist g(y) = 1/2 * y^2. Damit gilt (1/2 * y^2)’ = y’ * y = 5 oder 1/2 * y^2 = 5*t + const oder y = plusminus sqrt(5/2 * t + const).
-
N’ = -2 * N. Das schreibst du als N’/N = -2. Hier ist g(N) = ln(N). Das gibt (ln(N))’ = N’/N = -2, das wiederum ln(N) = -2*t + const, das wiederum N = exp(-2*t) * const.
Chris
also, ich BIN Mathematiker und halte daher wenig vom
'rummultiplizieren von Teilen von Symbolen.
Wenn Du nur halb so pedantisch bist wie ich, dann werde ich meine leichtfertige Division durch Differentiale wohl auch nicht dadurch rechtfertigen können, daß damit die Anwendung der den jeweiligen Differentiationsoperatoren entprechenden Integrationsoperatoren (und umgekehrt) gemeint war. Aber Du wirst Dich sicher schon daran gewöhnt haben, wie die Naturwissenschaftler mit der Mathematik umgehen, genau wie wir vor dem Umgang der Ingenieure mit den Naturwissenschaflen kapituliert haben.