Trigonometrie---Einheitskreis

Wissenschaft Physik
1

hey ihr lieben

ich verstehe den einheitskreis nicht, nämlich in diesen punkten:
-was drückt eigentlich ein negativer sinus aus?
z.B -0,5= 210° und 330°…toll was soll ich jetzt mit den zwei winkeln? was stellen sie dar?
Bei positiven Sinuswerten wie 0,5 (=30° und 150°) kann man sich ja noch denken, diese zwei winkeln entsprechen dem winkel alpha im dreieck.
Aber winkeln wie 210° (>180°) können ja gar nicht in einem dreieck sein. wofür stehen sie jetzt eigentlich?

-Warum ist der Tangens nicht mehr im einheitskreis?
man hat ja: tangens=gegenkathete / Ankathete
Warum ist er auf einmal nicht mehr im einheitskreis drinn?

S

verwirrung! =S =S

danke schon mal im vorraus!

LG

2

ich verstehe den einheitskreis nicht, nämlich in diesen
punkten:
-was drückt eigentlich ein negativer sinus aus?
z.B -0,5= 210° und 330°…toll was soll ich jetzt mit den zwei
winkeln? was stellen sie dar?
Bei positiven Sinuswerten wie 0,5 (=30° und 150°) kann man
sich ja noch denken, diese zwei winkeln entsprechen dem winkel
alpha im dreieck.
Aber winkeln wie 210° (>180°) können ja gar nicht in einem
dreieck sein. wofür stehen sie jetzt eigentlich?

Hallo, Nathalie,
wenn Du die Zusammenhänge verstehen möchtest, mache Dir die Mühe, lege eine X- und eine Y- Achse fest und trage auf der X- Achse die Winkel (vielleicht in 5 - 10 Grad- Schritten) an.
Auf der Y- Achse markierst Du die zugehörigen Werte (ausgerechnet z. B. mit dem Taschenrechner).
Wenn Du die einzelnen Punkte durch verbindest (und ein bißchen abrundest), wird Dir klar werden, woher die Negativ- Werte bei der Sinus- Funktion kommen.
Auch bei der Tangens- Funktion wird das klar.
Gruß:
Manni

3

Moin,

der Sinus ist eine Winkelfunktion. Diese Funktion ordnet jedem beliebigen Winkel eindeutig einen Funktionswert zu, eben den Sinus dieses Winkels. Die Umkehrfunktion ist aber nicht eindeutig, weil es zu einem bestimmten Sinus-Wert mehrere (sogar unendlich viele) Winkel gibt, die zu diesem Sinuswert gehören. Darauf muss man z.B. achten, wenn man diese Umkehrfunktion mit dem Taschenrechner berechnet. Der gibt nämlich als Ergebnis nur einen einzigen Winkel an, ob das aber auch der gesuchte ist, hängt von der Fragestellung ab.
Winkel können beliebige Werte annehmen, eben auch größer als 360° sein. Das erscheint auf den ersten Blick merkwürdig, weil man das schlecht zeichnen kann. Aber trotzdem ist es sinnvoll, sowas zu definieren. Ich weiss nicht, ob das jetzt ein gutes Beispiel wird - aber stell Dir mal den Deckel einer Ketchupflasche vor. Um den abzubekommen, musst Du ihn vielleicht anderthalb mal rumdrehen. Man könnte also sagen, er hat einen gesamten Winkel von 540° zurückgelegt.
OK - man kann nun den Sinus auch in einem rechtwinkligen Dreieck veranschaulichen, allerdings eben nur für Winkel zwischen 0 und 90°.
Der Einheitskreis ist auch eine schöne Sache, aber den kann ich nicht mit Worten erklären, dazu bräuchte ich eine Tafel und bunte Kreide.

Olaf

4

Hallo!

wenn Du die Zusammenhänge verstehen möchtest, mache Dir die
Mühe, lege eine X- und eine Y- Achse fest und trage auf der X-
Achse die Winkel (vielleicht in 5 - 10 Grad- Schritten) an.
Auf der Y- Achse markierst Du die zugehörigen Werte
(ausgerechnet z. B. mit dem Taschenrechner).
Wenn Du die einzelnen Punkte durch verbindest (und ein bißchen
abrundest), wird Dir klar werden, woher die Negativ- Werte
bei der Sinus- Funktion kommen.
Auch bei der Tangens- Funktion wird das klar.
Gruß:
Manni

Danke schonmal, aber das war eigentlich nicht die antwort auf meine frage. =D
Ich weiss auch nicht wie ich das am besten formulieren soll, aber ich versuche es nochmal ^^
Mit dem Sinus kann man Dreiecksberechnungen machen, z.B Winkeln, Seiten etc.

sin alpha= Gegenkathete/Hypotenuse

In diesem Falle kann der Sinuswert doch unmöglich negativ sein, da diese Dreiecksseiten eine Länge haben, oder?

Hier kann z.B jetzt rauskommen: sin alpha=0,5, alpha=30° oder 150°

da ist alpha doch der winkel im Dreieck, den ich berechnet haben wollte.

Doch bei einem negativen sinuswert ist die sache doch nicht mehr so klar. Wenn alpha=z.B 270° oder 340° usw. ist, was ist jetzt alpha? immer noch ein Dreieckswinkel??

D das war meine frage…vielleicht ist sie jetzt deutlicher gestellt.

^^
LG

5

Moin,

Hallo Olaf!

der Sinus ist eine Winkelfunktion. Diese Funktion ordnet jedem
beliebigen Winkel eindeutig einen Funktionswert zu, eben den
Sinus dieses Winkels. Die Umkehrfunktion ist aber nicht
eindeutig, weil es zu einem bestimmten Sinus-Wert mehrere
(sogar unendlich viele) Winkel gibt, die zu diesem Sinuswert
gehören. Darauf muss man z.B. achten, wenn man diese
Umkehrfunktion mit dem Taschenrechner berechnet. Der gibt
nämlich als Ergebnis nur einen einzigen Winkel an, ob das aber
auch der gesuchte ist, hängt von der Fragestellung ab.
Winkel können beliebige Werte annehmen, eben auch größer als
360° sein. Das erscheint auf den ersten Blick merkwürdig, weil
man das schlecht zeichnen kann. Aber trotzdem ist es sinnvoll,
sowas zu definieren. Ich weiss nicht, ob das jetzt ein gutes
Beispiel wird - aber stell Dir mal den Deckel einer
Ketchupflasche vor. Um den abzubekommen, musst Du ihn
vielleicht anderthalb mal rumdrehen. Man könnte also sagen, er
hat einen gesamten Winkel von 540° zurückgelegt.
OK - man kann nun den Sinus auch in einem rechtwinkligen
Dreieck veranschaulichen, allerdings eben nur für Winkel
zwischen 0 und 90°.

ah…das heisst dass der sinus im Dreieck auch dargestellt werden kann, aber nur unter der Bedinung, der Winkel müsste sich zwischen 0 und 90° befinden, oder? Die restlichen (unendlichen) Winkeln können einfach nicht im Dreieck dargestellt werden.

sollte der Winkel nicht 0°-180° betragen können? Das Dreieck muss ja nicht unbedingt ein rechtwinkliger sein, nicht? (sinus&kosinussatz)

Der Einheitskreis ist auch eine schöne Sache, aber den kann
ich nicht mit Worten erklären, dazu bräuchte ich eine Tafel
und bunte Kreide.

ja, es ist schwer zu erklären ohne skizze xD ich muss manchmal auch schon fragen mit einer skizze stellen :smiley:

LG

6

Hi

-Warum ist der Tangens nicht mehr im einheitskreis?
man hat ja: tangens=gegenkathete / Ankathete

Warum ist er auf einmal nicht mehr im einheitskreis drinn?

Damit meinst du bestimmt:
Warum kann ich den Wert für den Sinus oder Cosinus einfach so ablesen, den vom Tangens aber nicht?

Schau dir mal an wie der zb. Sinus definiert ist (für den Cosinus gilt das gleiche im Prinzip):

Gegenkathete / Hypotenuse.

-> In Einheitskreis hat die Hypotenuse immer die Länge bzw. den Wert eins. Also lautet die Gleichung von oben eigentlich:

Gegenkathete / 1

„Durch-eins-teilen“ kann man sich auch schenken, vondaher kann man im Einheitskreis einfach behaupten:

Sinus = Länge der Gegenkathete

Das gilt nur (!) im Einheitskreis und vereinfacht die Mathematik ein bisschen zu stark, aber für unsere Zwecke soll’s reichen.

So, aus diesem Grund kannst du eben den Wert für den Sinus direkt „aus dem Einheitskreis ablesen“, da du nur gucken musst wie lang die Gegenkathete ist.
Dass du den Sinus so einfach durch kurzes Hingucken bestimmen kannst ist aber im Prinzip nur Zufall!
Denn beim Tangens geht das nun soooo einfach nicht mehr, das hast du ja selbst schon gemerkt; da tanzen die Werte irgendwie aus der Reihe. Einfach mit Ablesen wie beim Sinus ist es hier nicht getan!

Also: Beim Tangens teilst du zwei von einander abhängige Werte durcheinander. Nämlich die Gegenkathete durch die Ankathete.
Was meine ich mit „abhängige Werte“? Mal dir kurz einen Einheitskreis auf, zeichne ein passendes Dreieck ein und du siehst: Wenn die Gegenkathete größer wird, wird die Ankathete kleiner und umgekehrt. Sie sind also von einander abhängig :smile:

Jetzt schau dir an was passiert wenn du eine ganz große Gegenkathete wählst, sagen wir 0,999999. Wie lang ist die dazu passende Ankathete?
Ziemlich klein oder? Sagen wir mal 0,00001 (geraten, ich gebs zu*g*).
Um nun den Tangens zu erhalten musst du 0,999999 durch 0,00001 teilen. Und? Es kommt eine ziemlich große Zahl heraus, denn man teilt ja eine große durch eine sehr kleine Zahl. Das Ergebnis dieser Division findet man so leicht am Einheitskreis nicht wieder, bzw. man kann es einfach nicht so schön ablesen wie beim Sinus oder Kosinus.

Das ist aber völlig normal und hat mit Zauberei gaaarnix zu tun.
Wenn noch Fragen sind, frag :smile:

Grüße
VAST

7

hey!!

Danke!!

d.h, wenn wir eine Gegenkathete von 0,999 nehmen, dann müssen wir doch
sin^-1 (0,999) rechnen, um die Ankathete auszurechnen, oder?
also sin^-1 (0,999) ergibt zuerst mal den Winkel Alpha (hier =87,437°)und mit diesen Winkel kann man dann die Ankathete berechnen (cos von alpha) oder?

dann kommt nämlich für die Ankathete 0,0447 raus.

Ist das richtig so? :smile:

LG

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d.h, wenn wir eine Gegenkathete von 0,999 nehmen, dann müssen
wir doch
sin^-1 (0,999) rechnen, um die Ankathete auszurechnen, oder?
also sin^-1 (0,999) ergibt zuerst mal den Winkel Alpha (hier
=87,437°)und mit diesen Winkel kann man dann die Ankathete
berechnen (cos von alpha) oder?

dann kommt nämlich für die Ankathete 0,0447 raus.

Ist das richtig so? :smile:

Ja, genau das stimmt. Vielleicht war meine Schätzung mit 0,0001 etwas ungenau :smile:

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Danke schonmal, aber das war eigentlich nicht die antwort auf
meine frage. =D
Ich weiss auch nicht wie ich das am besten formulieren soll,
aber ich versuche es nochmal ^^
Mit dem Sinus kann man Dreiecksberechnungen machen, z.B
Winkeln, Seiten etc.

D das war meine frage…vielleicht ist sie jetzt deutlicher gestellt.

Hallo, Nathalie,

vielleicht hilft’s Dir weiter:
Schau mal unter WIKI: Einheitskreis.
Da gibt es eine schöne Darstellung mit Quadranten (positiv und negativ).
Gruß:
Manni

10

Ja, genau das stimmt. Vielleicht war meine Schätzung mit
0,0001 etwas ungenau :smile:

Ach so! Danke viel viel mal =] hat mir echt geholfen!

LG
nathalie

11

Hallo,

ah…das heisst dass der sinus im Dreieck auch dargestellt
werden kann, aber nur unter der Bedinung, der Winkel müsste
sich zwischen 0 und 90° befinden, oder? Die restlichen
(unendlichen) Winkeln können einfach nicht im Dreieck
dargestellt werden.

Du müsstest halt immer solange 360° abziehen, bis der Winkel ins Dreieck reinpasst.

sollte der Winkel nicht 0°-180° betragen können? Das Dreieck
muss ja nicht unbedingt ein rechtwinkliger sein, nicht?
(sinus&kosinussatz)

Ja, stimmt. Nur bei der Gegen- und Ankatheten-Darstellung muss es eben rechtwinklig sein.

Olaf