Trigonometrie, was mache ich falsch

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo

Mein Umgang mit trigonometrischen Funktionen ist Jahrzehnte her, leider habe ich einiges vergessen. Ich möchte ausrechnen, warum die Spannung zwischen 2 Phasen einer Drehstromleitung (230V) ca. 400V beträgt.
Dazu suche ich den Schnittpunkt beider Sinuskurven Uo*sinx und Uo*sin(x+z) durch Gleichsetzen beider Funktionen, wobei z die Phasenverschiebung 120° ist.
sinx = sinx*cosz + cosx*sinz
sinx/cosx = sinz/(1-cosz)
tanx=0,577
x=29,985°
Dasselbe Ergebnis erhalte ich, wenn ich beide Funktionen addiere und das Maximum der Summenfunktion ermittele, was ok ist, denn dort, wo sich die Kurven schneiden ergibt die Addition der Amplituden das Maximum der Summenkurve.
Der Schnittpunkt muß irgendwo zwischen Pi/2 und Pi liegen, nicht aber bei ca. 30°. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

Danke für Hinweise
Gruß
Günther

#2

Hallo,

warum die Spannung zwischen 2 Phasen einer Drehstromleitung
(230V) ca. 400V beträgt.

das ist so, weil 230 sin(x + 60°) – 230 sin(x – 60°) dasselbe ist wie 230 √3 cos(x) ≈ 400 cos(x).

Die ±60° kommen daher, weil die Phasenverschiebung zwischen je zwei Phasen einer Drei-Phasen-Drehstromleitung 360°/3 = 120° beträgt.

Die Identität sin(x + 60°) – sin(x – 60°) = √3 cos(x) zu beweisen ist nicht schwer. Du brauchst dazu nur das Additionstheorem sin(a + b) = …

Gruß
Martin

#3

Hallo,

vergleiche mal bitte damit, ich mach das auch grad:

sin(x) = sin(x+y) sin(x) = sin(x)cos(z) + cos(x)sin(z)
sin(x)[1 - cos(z)] = cos(x)sin(z)
sin(x)/cos(x) = sin(120)/(1 - cos(120)) = 0.5 root(3) / (1 - 0.5 root(3))
tan(x) = root(3)/(2 - root(3)) => x = 81 Grad circa.

Meine Vermutung: Eingabafehler beim Bruch sin(z):frowning:1-cos(z)).

Grüße

Eric

#4

…danke für die Unterstützung, jetzt ist es klar

Gruß
Günther

#5

Hallo Eric,

sin(x)/cos(x) = sin(120)/(1 - cos(120)) = 0.5 root(3) / (1

  • 0.5 root(3))

cos 120° = - 0,5 und nicht 0,5 Wurzel (3)

tan(x) = root(3)/(2 - root(3)) => x = 81 Grad circa.

tan (x) = ((1/2) * Wurzel 3) / (3/2) = Wurzel 3 / 3 —> x = 30°

Die Sinuskurven schneiden sich bei 30° und 210°.

Meine Vermutung: Eingabafehler beim Bruch sin(z):frowning:1-cos(z)).

Günther hat richtig gerechnet.

Gruß
Pontius

#6

Hallo Pontius,

danke für den Hinweis. War beim Nachschlagen verrutscht und nicht weiter drüber nachgedacht, da mein TR ein Ergebnis anzeigte, das mit der pi/2 pi Abschätzung (meine Zeichnung sagt das auch) übereinstimmt.

So kanns gehn :smile:

Grüße

Eric

#7

Hallo Günther,

Ich möchte ausrechnen,warum die Spannung zwischen 2 Phasen einer Drehstromleitung (230V) ca. 400V beträgt.
Dazu suche ich den Schnittpunkt beider Sinuskurven Uo*sinx und
Uo*sin(x+z) durch Gleichsetzen beider Funktionen, wobei z die
Phasenverschiebung 120° ist.
sinx = sinx*cosz + cosx*sinz
sinx/cosx = sinz/(1-cosz)
tanx=0,577
x=29,985°
Dasselbe Ergebnis erhalte ich, wenn ich beide Funktionen
addiere und das Maximum der Summenfunktion ermittele, was ok
ist, denn dort, wo sich die Kurven schneiden ergibt die
Addition der Amplituden das Maximum der Summenkurve.
Der Schnittpunkt muß irgendwo zwischen Pi/2 und Pi liegen,
nicht aber bei ca. 30°. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

rechnerisch hast du keinen Fehler gemacht. Ein Schnittpunkt liegt bei 30° und den hast du ja auch richtig ermittelt. Nur kommst du so nicht auf die ca. 400V, weil das - wie die 230V auch - ein Effektivwert ist.

Gruß
Pontius

#8

…verrückt ist das trotzdem, denn beim Ergebnis, was Martin schrieb, mit dem sin(x-60) und sin(x+60) erhalte ich Wurzel(3)*cos(x), was dann auf 398V*cos(x) führt. Verschiebe ich aber das Bezugskoordinatensystem um 60°, sodaß die Funktionen sin(x) und sin(x+120)(oder Minus) lauten, läßt sich das nicht mehr so leicht rechnen.
Trotzdem danke für die Mühe.

Gruß
Günther

#9

Verschiebe ich aber das Bezugskoordinatensystem um 60°, sodaß die
Funktionen sin(x) und sin(x+120)(oder Minus) lauten, läßt sich
das nicht mehr so leicht rechnen.

Gut beobachtet. In diesem Fall benötigst Du auch noch das Wissen, dass a sin x + b cos x wiederum eine harmonische Schwingung ist, und zwar eine mit der Amplitude √(a2 + b2).

Es gilt:

a \sin x + b \cos x = A \cos(x + \delta)

\quad {\rm mit} \quad
A = \sqrt{a^2 + b^2}
\quad {\rm und} \quad
\tan\delta = \frac{b}{a}

Damit kannst Du Deine Frage für alle beliebigen Phasenlagen beantworten. Ohne diese Identität geht das nur für den Fall sin(x + …) und sin(x – …), oder dasselbe mit „cos“.

Gruß
Martin

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#10

Hallo Martin

danke für die Formel, nach der ich im Bronstein vergeblich gesucht habe (5.Aufl. von 1965). Nun ist die Welt in Ordnung.

Gruß
Günther