Hallo armstein,
Hallo Knobelfans,
Hier mal eine ganz alltägliche Frage:
eine sehr gute Frage!!!
Wieviel Ü-Eier muss man im Durchschnitt kaufen, wenn man von
einer Hardplastikserie, die aus 10 verschiedenen Figuren
besteht, mindestens je 1 haben möchte ? Dabei sei angenommen,
dass alle 10 gleich häufig vorkommen und dass im Schnitt in
jedem 7. Ei eine drin ist.
Wenn es insgesamt k Figuren gibt die mit Wahrscheinlichkeit p/k jeweils in einem Ei vorhanden sind so ist die zu erwartende Anzahl von Eiern die man kaufen muss k/p * (Summe(j von 1 bis k) 1/j) oder k/p * (1+1/2+1/3+1/4+…+1/k). Weiß leider nicht wie ich das hier besser schreiben kann, in LaTeX-Code: \frac{k}{p} \sum_{j=1}^k \frac{1}{j}
Hier ist nun k=10 und p=1/7. Damit ist die zu erwartende Anzahl 205 Eier.
Wie kommt man zu der Formel?
Zuerst braucht man irgendeine Figur, die gibt es mit Wahrscheinlichkeit p.
Danach braucht man eine andere Figur, die gibt es mit Wahrscheinlichkeit p * (k-1)/k, weil man von k Figuren schon eine hat und jede davon mit der Wahrscheinlichkeit p/k vorkommt.
Wenn man schon i Figuren hat braucht man noch k-i Figuren, die W. für einen Treffer ist p * (k-i)/k.
Das Warten auf den nächsten Treffer ist jeweils eine geometrische Verteilung, die einzelnen Ereignisse sind stochastisch unabhängig, damit kann man eine Summenverteilung bilden.
Leider kann ich dies auf die Schnelle nicht einfacher erklären. Ist ein echt kniffliges Problem nämlich.
In der Statistik bekannt als Sammlerproblem, Coupon-Collector-Problem oder Problem der vollständigen Serie.
Übrigens: vor einiger Zeit hatte Ferrero die HappyHippoHochzeit mit 14 Figuren, da brauchte man im Schnitt 319 Eier!!!
Wem diese Fragestellung zu einfach ist, etwas unformuliert,
anderes Problem:
Wieviel muss man kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit, von
jeder Figur mindestens 1 zu haben, mindestens 50 % ist ?
Bereits solche leichten Umformulierungen können das Problem sogar erschweren. Auf Anhieb weiß ich jetzt keine Lösungsformel dafür.
Ciao, Holger
