Hallo,
ich bräuchte mal etwas Hilfe bei den folgenden Beweisen, die sind bestimmt alle ähnlich, aber ich steh im Moment eben irgendwie auf dem Schlauch.
Danke für eure Hilfe
Kati
Hallo Kati,
zu 1)
(geht glaube ich auf Cantor zurück. Das Beweisverfahren heisst ‚Cantorsches Diagonalverfahren‘ und läuft indirekt)
Ich versuche mal, den Beweis etwas ‚normaler‘ als üblich zu formulieren:
Du betrachtest alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und zeigst, dass bereits diese überabzählbar sind, wie folgt:
Angenommen, die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 wären abzählbar.
Dann existiert also eine Abzählung und nach dieser kann man sie in eine vollständige ‚Liste‘ schreiben:
(so ungefähr:smile:
0,036478655667535678000000
0,723456845767869566646365656…
0,5496457685768659767658665466
0,4436765757887687
…
Nun konstruiere eine (weitere) reelle Zahl nach folgender Vorschrift:
Nehme die ‚Diagonale‘, also aus der n-ten Zeile die n-te (Dezimal-)Ziffer, und erhöhe sie jeweils um 1 (aus 9 wird 0)
In meinem Beispiel wäre der Anfang der Diagonalen 0,0296…
und jede Ziffer um 1 erhöht ergibt 0,1307…
(Jetzt kommt’s:smile:
Diese konstruierte Zahl ist wiederum eine reelle Zahl zwischen 0 und 1, müsste also in der Liste auftauchen,
aber sie kann nicht in der Liste auftauchen, denn dann müsste sie eine Position in der Liste haben (z.B. x) und ihre x-te Stelle wäre laut Liste eine Ziffer d, aber laut obiger Konstruktion d+1. Widerspruch.
qed.
zu 2)
Da es abzählbar viele rationale Zahlen (Q) gibt, und überabzählbar viele reelle Zahlen R = Q vereinigt mit I (I: irrationale Zahlen), muss I überabzählbar sein. (da gilt: „Abzählbar + Abzählbar = Abzählbar“, man zählt einfach ‚abwechselnd‘)
zu 3) vielleicht später, muss wieder arbeiten 
Peace, Kevin.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
ich bräuchte mal etwas Hilfe bei den folgenden Beweisen, die
sind bestimmt alle ähnlich, aber ich steh im Moment eben
irgendwie auf dem Schlauch.
- R ist überabzählbar
- Es gibt überabzählbar viele irrationale Zahlen
- In jedem Intervall gibt es a) unendlich viele irrationale
Zahlen und b) unendlich viele rationale Zahlen.Danke für eure Hilfe
Kati
(*) Q liegt dicht in R, d.h. der Abschluß von Q ist R.
Seien a,b aus R, ab und T:=]a,b[. Dann ist T nicht leer und enthält wegen der archimedischen Eigenschaft der reelen Zahlen unendliche viele reele Zahlen. Wegen Dann (*) enthält T dann unendliche viele rationale Zahlen und mit der Beweisführung zu 2. ergeben sich dann unendliche irrationale Zahlen.
Tyll