Hallo, also ich habe hier eine Aufgabe von meinem Mathelehrer die er bis nächsten Samstag gelöst haben will. Ich sitze seit 1 Stunde daran und ich komm einfach nicht drauf. Vielleicht kann mir hier jemand helfen. Also hier die Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x³-ehoch 2x-2. Zeigen sie, dass es eine Stammfunktion F von f gibt, deren Schaubild den Punkt P (1/1) als Tiefpunkt besitzt.
2x-2 ist die komplette Hochzahl von e. Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.
Danke im Voraus!
Auch hallo.
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x³-ehoch 2x-2. Zeigen sie,
dass es eine Stammfunktion F von f gibt, deren Schaubild den
Punkt P (1/1) als Tiefpunkt besitzt.
Das müsste die Stammfunktion sein:
1/4 * x^4 -1/2*e^(2x-2) + c
Zur Probe die Ableitung: 4*1/4*x^(4-1) - 1/2 * 2 * e^(2x-2)
Jetzt muss man c wohl nur noch so bestimmen, dass gilt:
1 = 1/4 * 1^4 -1/2*e^(2*1-2) + c
1 = 1/4 -1/2*e^0 +c
1= 1/4 -1/2 +c
5/4 = c
HTH
mfg M.L.
Danke Danke Danke
Für die Lösung und für die schnelle Hilfe
Gruß
Andreas
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Hallo Andreas,
Markus’ Lösung ist richtig. Anmerken möchte ich nur, dass man die Aufgabe auch lösen kann, ohne die Stammfunktion zu bestimmen (Stammfunktionen sind nicht immer so leicht zu bestimmn wie im vorliegenden Fall).
Die Existenz einer Stammfunktion dürfte klar sein, da die gegebene Funktion
f: x -\> f(x) = x^3 - exp( 2\*x - 2 )
abschnittsweise stetig ist (sogar überall stetig).
Dass die Stammfunktion von f ein Minimum besitzt, kann man beweisen, indem man zeigt, dass f bei 1 eine Nullstelle hat und die Ableitung von f dort positiv ist, denn eine Stammfunktion von f ist ja gerade eine Funktion, deren Ableitung f ist…
f(1) = 1^3 - exp( 2\*1^2 - 2 ) = 1 - exp(0) = 0
f'(1) = 3\*1^3 - 2\*exp(2\*1-2) = 3-2 = 2 \> 0.
Jetzt muss man nur noch zeigen, dass eine Stammfunktion existiert, deren Wert bei 1 gerade 1 beträgt. Das ist aber ganz einfach, denn wenn
F: x -\> F(x)
eine Stammfunktion von f ist, dann ist auch
G: G -\> G(x) = F(x) + 1 - F(1)
eine Stammfunktion von f mit
G(1) = F(1) + 1 - F(1) = 1.
Viele Grüße,
Jens
hi,
Die Antwort ist meiner Meinung nach noch nicht vollständig. Um zu beweisen bzw. zu zeigen, dass an der Stelle (1,1) ein Minimum existiert musst du f(x) gleich null setzen. Ist ja schon die erste Ableitung von F(x). Hiermit zeigst du dass es einen Extrempunkt gibt. Jetzt f(x) ableiten, also die 2. Ableitung von F(x) bilden und den Extremwert für x einsetzen (x=1). Das ganze wird größer Null womit du bewiesen hast, dass an dieser Stelle ein Minimum ist. Jetzt setzt du die 1 für x in die Stammfunktion, also F(x) ein um die Stelle y zu erhalten. C ist wie schon richtig geschrieben 5/4!
MfG