* Ein Element b heißt obere Schranke von T, wenn für alle x in T x ≤ b gilt.
* Ein Element b heißt untere Schranke von T, wenn für alle x in T b ≤ x gilt.
* Existiert eine obere Schranke von T, dann heißt T nach oben beschränkt.
* Existiert eine untere Schranke von T, dann heißt T nach unten beschränkt.
* Ist T nach oben und nach unten beschränkt, dann heißt T beschränkt.
* Ein Element b heißt Supremum von T wenn b die kleinste obere Schranke von T ist.
* Ein Element b heißt Infimum von T wenn b die größte untere Schranke von T ist.
Wie berechnet man denn nun ein Supremum ?
Hat jemand da paar Erklärungen parat, um es einem verständlich erklären zu können ?
Man betrachte folgende Funktion: f(x)=abs(x^3-1)^3/(x-1)^2
Sie ist definiert für alle R ohne 1. Für dieser Werte ist die Funktion stets größer als Null: f(x) > 0.
Die Definitionslücke ist stetig zu ergänzen mit f*(x=1)=0. Der Funktionswert f(x)=0 wird jedoch nie wirklch erreicht und ist somit nur Infimum, nicht Minimum der Funktion.
Bei google findest Du auch viele Aufgaben und Lösungen, allerdings eher auf Uni-Niveau, nach Schulaufgaben (?) müsstest Du evtl. noch mal gesondert suchen.
Dort findest Du u.a. auch ein Schulmatheforum, evtl. findest Du schon nen Artikel zu dem Thema, oder Du fragst da noch mal, die sind eigentlich immer sehr nett und können gut erklären. Es lohnt sich, dort mal ein bischen rumzustöbern.
nicht verzweifeln und abschrecken lassen. Das sind nur Definitionen! Etwas heißt „So-und-so“ wenn es diese-und-jene Eigenschaft hat. Nicht mehr und nicht weniger.
Etwas heißt „Wolke“ wenn es weiß, bauschig, in der Luft und aus Wasserdampf ist.
Stell Dir einen Topf (T) voll Zahlen (x) vor, eine „Menge“. Dann ist eine bestimmte Zahl (b) im Topf eine sogenannte „obere Schranke“, wenn alle anderen Zahlen im Topf kleiner oder höchstens gleich groß sind.
Wenn es so eine Zahl gibt, dann ist die Menge „nach oben beschränkt“.
Ist doch ganz einfach.
Das lustige bei mathematischen Mengen ist, sie können unendlich (und sogar mehr) Zahlen haben, die unendlich groß sein können. So eine Menge kann definiert werden durch Vorschriften, wie etwa Funktionen:
y ist die Menge aller Quadratzahlen. Diese Menge ist natürlich nicht oben beschränkt, weil man immer noch eine größere Zahl finden kann, aber die Menge ist nach unten beschränkt, weil keine Quadratzahl kleiner als Null werden kann (lassen wir mal komplexe Zahlen außen vor).
Hoffe, das hilft.
Gruß
Moriarty
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Hi,
also es handelt sich hierbei um Definitionen von mathematischen Objekten(Sachverhalten). Zu deiner Frage, wie man diese Schranken ausrechnet, muss gesagt werden, dass es leider keine allgemeine Formel gibt, mit der man die oberen/unteren Schranken ausrechnen kann. Aber so etwas wie ein Schema gibt es schon (obwohl das schon sehr abstrakt ist): Man nimmt sich eine Zahl von der man vermutet, dass sie eine obere/untere Schranke ist und versucht dann mathematisch zu beweisen, dass diese Zahl die Anforderungen, die in der entsprechenden Defintion an diese Zahl gestellt werden, erfüllt. Tut sie dies, so ist diese Zahl eine obere/untere Schranke. Tut sie dies nicht, so kommst du in deinem Beweis irgendwann zu einem Widerspruch (vllt einer 0-Division oder so etwas in der Art) und die Zahl war doch keine obere/untere Schranke. Dann musst du dir eine neue Zahl suchen und das Spielchen fängt von vorne an …
Gruss,
Timo
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