Hallo,
ich habe folgende Reihe:
Summe von i=0 bis unendlich (i*(x hoch i)/i!)
Dafür suche ich nun einen Ausdruck ohne Summe.
Ich dachte mir, dass man die Exponentialreihe darauf anwenden kann, aber umgeformt wäre meine Reihe ja:
Summe von i=0 bis unendlich ((x hoch i)/(i-1)!)
Gibt es dafür trotzdem ein Schema zur Lösung, obwohl einmal i und einmal i-1 vorkommt? Kann man den Term vielleicht irgendwie zerteilen?
Danke,
Kitty
Hallo,
ich habe folgende Reihe:
Summe von i=0 bis unendlich (i*(x hoch i)/i!)
Dafür suche ich nun einen Ausdruck ohne Summe.Ich dachte mir, dass man die Exponentialreihe darauf anwenden
kann, aber umgeformt wäre meine Reihe ja:
Summe von i=0 bis unendlich ((x hoch i)/(i-1)!)
Gibt es dafür trotzdem ein Schema zur Lösung, obwohl einmal i
und einmal i-1 vorkommt? Kann man den Term vielleicht
irgendwie zerteilen?
Ja. Aber erstmal ist (-1)! gar nicht definiert, das macht aber nichts, weil der erste Term null ist: (i*x^i / i!) = 0 für i = 0.
D.h. deine Summe startet bei 1:
Summe i=1…inf (x^i / (i-1)!) = Summe i=1…inf (x* x^(i-1) / (i-1)!).
Jezt kannst du das einzelne x aus der Summe ziehen, da es nicht von i abhäng:
… = x * Summe i=1…inf (x^(i-1)/(i-1)!).
Jetzt steht da das gleiche wie in der Tailorreihe der Exponentialfunktion. Noch klarer wird es, wenn man einen neuen Index
j = i-1 einführt:
… = x * Summe j=0…inf (x^j/j!) = x * exp(x).
HTH,
Moritz