Guten Morgen
Das Quadrat von einem Vektor entspricht dem Quadrat vom Betrag des selben Vektors.
\vec{a}^{2}= a^{2}
Dies habe ich verstanden.
Meine Frage taucht bei der Umformung einer Gleichung auf.
\vec{a}\cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot cos\varphi
=>
cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{a \cdot b}
Bis jetzt habe ich ja nur die Gleichung vom Skalarprodukt umgeformt. Meine Frage taucht auf, wenn ich beide Seiten quadriere.
cos^{2}\varphi = \frac{\vec{a}^{2}\cdot
\vec{b}^{2}}{a^{2}\cdot b^{2}}
=>
cos^{2}\varphi = \frac{a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}
=>
cos^{2}\varphi = 1
=>
cos\varphi = 1
Irgendwo muss sich ein Fehler eingeschlichen haben, doch wo? Ich weiss, dass Quadrieren grundsätzliche keine Äquivalenzumformung ist, weil man dadurch die Gegenzahl in die Lösung aufnimmt, dies ist hier ja aber nicht der Fall.
Ich danke allen Lesern schon jetzt!
Esaki
Guten Morgen
Meine Frage taucht bei der Umformung einer Gleichung auf.
\vec{a}\cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot cos\varphi
=>
cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{a \cdot b}
Bis jetzt habe ich ja nur die Gleichung vom Skalarprodukt
umgeformt. Meine Frage taucht auf, wenn ich beide Seiten
quadriere.
cos^{2}\varphi = \frac{\vec{a}^{2}\cdot
\vec{b}^{2}}{a^{2}\cdot b^{2}}
=>
cos^{2}\varphi = \frac{a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}
Irgendwo muss sich ein Fehler eingeschlichen haben, doch wo?
Ich weiss, dass Quadrieren grundsätzliche keine
Äquivalenzumformung ist, weil man dadurch die Gegenzahl in die
Lösung aufnimmt, dies ist hier ja aber nicht der Fall.
ich glaube, es liegt daran, dass du beim skalarprodukt der vektoren die vektoren einzeln quadriert hast. dies ist (soviel ich weiss) nicht zulässig, da sich in diesem fall das skalarprodukt nich gleich verhält wie ein sonstiges produkt. so erzeugst du ja zuerst die skalarprodukte der vektoren jeweils mit sich selbst und multiplizierst dann die skalaren werte. du müsstest aber meiner meinung nach zuerst das skalarprodukt bilden, und dan diesen skalaren wert quadrieren!
bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege!
Ich danke allen Lesern schon jetzt!
bitte
niemand
Hallo niemand
Vielen Dank für deine Hilfe!
Du hast natürlich völlig recht, das Skalprodukt ist ja nicht
kommutativ, eigentliche hätte ich es gewusst.
Folglich gilt:
(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = \vec{a}\cdot \vec{b} \cdot
\vec{a}\cdot \vec{b}
\vec{a}\cdot \vec{b} \cdot \vec{a}\cdot \vec{b} \neq
\vec{a}\cdot \vec{a} \cdot \vec{b}\cdot \vec{b}
Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Wenn ich dir ein Sternchen geben könnte, würde ich dir jetzt eins geben.
Esaki
hi,
cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{a \cdot b}
cos^{2}\varphi = \frac{\vec{a}^{2}\cdot
\vec{b}^{2}}{a^{2}\cdot b^{2}}
diese umformung ist keine äquivalenzumformung. (wie quadrieren an sich keine äquivalenzumformung ist).
das ist defintiv falsch (bzw. nicht allgemein richtig), denn:
{(\vec{a}\cdot \vec{b})^2} = {\vec{a}^2
\cdot \vec{b}^2}
stimmt i.a. nicht!
denn (z.b.):
{\vec{a}\cdot \vec{b}} = 0
ist auch der fall, wenn die vektoren aufeinander normal stehen;
{\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2} = 0
ist nur möglich, wenn mindestens einer der vektoren die länge 0 hat.
probiers z.b. mit den vektoren (1; 2) und (-4; 2).
hth
m.
hi,
Du hast natürlich völlig recht, das Skalprodukt ist ja nicht kommutativ
doch. kommutativ ist das skalarprodukt schon. assoziativ ist es nicht.
m.
Hallo, Michael
Ja, ich habe micht da wohl vertan. Aber es ändert ja eigentlich nichts an der Begründung.
(\vec{a}\cdot \vec{b}) \cdot (\vec{a}\cdot \vec{b}) \neq
\vec{a}\cdot (\vec{b}^{2} \cdot \vec{a})
\vec{a}\cdot (\vec{b}^{2} \cdot \vec{a}) \neq
\vec{b}^{2} \cdot \vec{a}^{2}
Danke für deine Antwort!
Esaki