Umkehrfunktion einer komplexwertigen Funktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
es geht um folgenden Satz:
Sei f: [a,b]->C (also eine Abbildung von einem reellen Intervall in die komplexen Zahlen) und injektiv. Dann ist die Umkehrabbildung f^(-1): f([a,b])->R stetig.

Im Beweis dazu wird lediglich die Beschränktheit von [a,b] ausgenutzt, weil dann nach Bolzano-Weierstraß jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

Könnte man dann nicht den Satz allgemeiner formulieren und Funktionen von K_r(0)->C zulassen? Also man würde nur komplexe Zahlen einsetzten, die aus einem gewissen Radius r um 0 entstammen. Dann wäre jede komplexe Folge beschränkt und es gäbe auch eine konvergente Teilfolge, oder?

Oder gibt es ein Gegenbeispiel, das widerlegt, dass die Umkehrfunktion injektiver, stetiger Funktionen von K_r(0)->C ebenfalls stetig ist?

Vielen Dank
Tim

#2

Hallo,

vielleicht steht da schon deine Antwort

http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten…

Grüße

Eric

#3

Hallo,
man kann den R^2 wohl mit C identifizieren.
Und ich hab gesehen, dass man die Abgeschlossenheit in dem Beweis aus meinem Skript nicht braucht, also sollte es auch nicht stören, dass U hier offen ist, weil das ist ja auch beschränkt, also das, was man braucht, um eine konvergente Teilfolge auszugliedern.

#4

Hallo,
man kann den R^2 wohl mit C identifizieren.

ja, das ist üblich.

Und ich hab gesehen, dass man die Abgeschlossenheit in dem
Beweis aus meinem Skript nicht braucht, also sollte es auch
nicht stören, dass U hier offen ist, weil das ist ja auch
beschränkt, also das, was man braucht, um eine konvergente
Teilfolge auszugliedern.

Genau, für den Satz von Bolzano Weierstraß ist Beschränktheit Voraussetzung. Ob die Menge offen ist oder nicht hindert da nicht, so ist es.