Hallo,
gegeben ist:
f: (0,pi) |-> |R , f(x)= 2x / sin(x)
Um nun die Umkehrfunktion f^-1 zu bestimmen, wäre es ja nun zweckmäßig nach x aufzulösen. Nur leider sehe ich hier den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
y*sin(x)=2x
y*sin(x) / 2x = 1
sin(x) / 2x = 1/y
…und ab hier stehe ich irgendwie auf dem Schlauch…
liebe grüße und vielen Dank
VAST
hi,
f: (0,pi) |-> |R , f(x)= 2x / sin(x)
Um nun die Umkehrfunktion f^-1 zu bestimmen, wäre es ja nun
zweckmäßig nach x aufzulösen. Nur leider sehe ich hier den
Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.y*sin(x)=2x
y*sin(x) / 2x = 1
sin(x) / 2x = 1/y
du rechnest da im kreis. zu lösen wäre die gleichung
x = 2y/siny
nach y.
oder
sin y / 2y = 1/x
ich glaub aber nicht, dass es dafür eine termdarstellung gibt. man kann die werte der umkehrfunktion numerisch berechnen, aber eine termdarstellung ist oft nicht möglich.
aber ich bin da nicht (mehr) firm. vielleicht findet wer was.
m.
hm…die Gleichung ist ja nach wie vor die selbe, nur dass die Variablen anders heißen 
Aber es beruhigt mich, dass man die Lösung nicht sofort sieht.
Dass es aber garnicht legal zu lösen ist, beunruhigt mich aber wiederum. Numerische Verfahren sind für Analysis I Vorlesungen sicher noch nicht vorgesehen
Trotzdem vielen Dank!
VAST
hi,
Dass es aber garnicht legal zu lösen ist, beunruhigt mich aber
wiederum.
„legal“ ist gut … 
Numerische Verfahren sind für Analysis I Vorlesungen
sicher noch nicht vorgesehen
vielleicht wollen sie euch demosntrieren, dass das mit dem hinschreiben der umkehrfunktion so einfach nicht ist.
m.
Kann es sein sein, daß die Aufgabenstellung eher so lautet, daß ihr zeigen sollt, daß eine Umkehrfunktion existiert? Falls ja, heißt es nicht unbedingt, daß ihr sie auch ausrechnen müßt. Sondern mit Hilfe von Bijektivität zeigen.
Es ist halt nur eine Vermutung von mir.
Kann es sein sein, daß die Aufgabenstellung eher so lautet,
daß ihr zeigen sollt, daß eine Umkehrfunktion existiert? Falls
ja, heißt es nicht unbedingt, daß ihr sie auch ausrechnen
müßt. Sondern mit Hilfe von Bijektivität zeigen.
Es ist halt nur eine Vermutung von mir.
Ja, das ist auch ein Teil der Aufgabe! Aber der zweite Teil ist eben auch, (f^-1)’ an der Stelle Pi zu bestimmen. Und dazu brauche ich ja die Umkehrfunktion 
hi,
nein, ganz sicher nicht.
die umkehrfunktion ist die an der 1. mediane (y=x) gespiegelte. damit kannst du (f^-1)’ an jeder stelle berechnen.
(f^-1)’(f(xo)) = 1/f’(xo)
an der stelle pi?
f bildet das intervall I = (0, pi) auf die menge M = (2, oo) ab; also f^-1 die menge M auf I. pi ist in M „mitten drin“, also kein problem. ich nehme aber an, dass die grenzpunkte interessant sind. deshalb: wie lautet der genaue wortlaut der aufgabe?
m.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ich kopier einfach mal dickfellig (sic!) hinein:
Es sei f : (0, pi) -> |R definiert durch f(x) :=2x/sin x.
Man zeige, dass f umkehrbar ist, bestimme den
Definitionsbereich von f−1 und berechne (f−1)’(pi).
Wenn ich in deine letzte Formel einsetzen würde, müsste ich doch wenigstens wissen für welches X f(x)=pi ist, womit wir wieder beim Anfangsproblem wären:
pi=2x / sin x; x = ?
Ich hoffe ich strapazier deine Nerven an Weihnachten nicht all zu arg
Danke!
hi,
Es sei f : (0, pi) -> |R definiert durch f(x) :=2x/sin x.
Man zeige, dass f umkehrbar ist, bestimme den
Definitionsbereich von f−1 und berechne
(f−1)’(pi).
so, jetzt ist mal der originaltext da…
Wenn ich in deine letzte Formel einsetzen würde, müsste ich
doch wenigstens wissen für welches X f(x)=pi ist, womit wir
wieder beim Anfangsproblem wären:pi=2x / sin x; x = ?
das ist bei x = pi/2 der fall.
sin(pi/2) = 1; also ist f(pi/2) = (2*pi/2)/1 = pi.
du musst außerdem zeigen, gegen welche werte f(x) für x gegen 0 und für s gegen pi geht, nämlich gegen 2 bzw. oo. dazu musst du den grenzwert von x/sinx für x gegen 0 kennen; das ist aber 1. (geht über die ableitung vom sin.)
für die bijektivität zeigst du am besten, dass f’ > 0 (also f streng monoton wachsend). aber das hast du ja offenbar schon.
mach dir doch einmal mit einer tabellenkalkulation ein bild von der kurve. das hilft.
m.
ok, auf pi/2 hätte ich auch selbst kommen können muss ich zugeben…
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Ruhige Feiertage wünscht
VAST