Hallo !
Kann mir jemand sagen, wie ich die Umkehrfunktion von „Y = aX^4 + bX^3 + cX^2 + dX+e“ erhalten kann …
… beziehungsweise, wie ich die Funktion „X = aY^4 + bY^3 + cY^2 + dY + e“ nach Y auflösen kann ?
Leider reicht mein mathematisches Verständniss nicht aus dieses Problem zu lösen.
Tausend Dank
Bernd Rehlinger
Hallo Bernd!
Wenn man Deine Gleichung als Funktion ansieht, dann kann man im allgemeinen Fall sicher keine Umkehrfunktion angeben. Bedingung für jede Funktion ist nämlich, dass jedem X-Wert höchstens ein Y-Wert zugeordnet wird. Natürlich ist es aber erlaubt, dass verschiedene X-Wert dem selben Y-Wert zugeordnet werden. (z.B. bei y=x^2: y=4 für +2 und -2) Wenn Du also diese Funktion umkehren willst, würden der Zahl 4 zwei Werte zugeordnet, was nicht erlaubt ist.
Auch wenn’s keine umkehrbare Funktion ist, auflösen könnte man sie vielleicht ja trotzdem. Ich glaub es gibt da sogar eine Formel, die ist aber wahnsinnig lang und schwer. (ich habe sie leider nicht gefunden.)
Vielleicht reicht es Dir ja, wenn du für bestimmte Parameter (a,b,c,d,e) eine Näherungslösung ausrechnest.
Da gibt’s eine gute Näherungsformel, mit der man schnell und bequem Werte erhält. (NEWTON-RAPHSON) Wenn Du dazu mehr wissen willst, kannst Du mir ja eine e-mail schreiben.
Grüsse
Philipp
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Ich stimme zu, eine Umkehrfunktion existiert nicht allgemein, höchstens stückweise, da in der Umkehrung die Zuordnung von Argument und Funktionswert nicht mehr eindeutig ist.
Auch wenn’s keine umkehrbare Funktion
ist, auflösen könnte man sie vielleicht
ja trotzdem. Ich glaub es gibt da sogar
eine Formel, die ist aber wahnsinnig lang
und schwer. (ich habe sie leider nicht
gefunden.)
Was es gibt, ist ein Verfahren (eine Formel reicht nicht), um die Nullstellen eines Polynoms vierten Gerades analytisch auszurechnen. Recht umständlich, unter Benutzung der Lösung von Polynomen dritten Grades, mit Hilfe komplexer Zahlen. Ist zu aufwendig, um hier geschildert zu werden, steht aber z.B. im Bronstein „Taschenbuch der Mathematik“.
Viele Grüße
Frank
Was es gibt, ist ein Verfahren (eine
Formel reicht nicht), um die Nullstellen
eines Polynoms vierten Gerades analytisch
auszurechnen.
Eine Linearfaktorenzerlegung ist nicht das Problem.
Leider bin ich nicht in der Lage mit diesen Linearfaktoren eine Umkehrfunktion zu erstellen. Anscheinend braucht es hierzu mehr als nur das Ausmultiplizieren der umgekehrten Linearfaktoren.
Lösung
So wie es bei der quadratischen Gleichung 2 Lösungen gibt, gibt es hier natürlich 4.
Der Anfang der ersten lautet:
x(y) = -b/(4*a) - (b^2/(2*a^2) - (4*c)/(3*a) -
(-(b^3/a^3) + (4*b*c)/a^2 - (8*d)/a)/
(4*(b^2/(4*a^2) - (2*c)/(3*a) +
(2^(1/3)*(c^2 - 3*b*d + 12*a*(e - y)))/
(3*a*(2*c^3 - 9*b*c*d + 27*a*d^2 +
(-4*(c^2 - 3*b*d + 12*a*(e - y))^3 \
