Umkreis auf einer Kugeloberfläche berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Matheexpertern,

ich stehe zur Zeit vor einem Problem für dessen Lösung meine Mathematikkenntnisse nicht ausreichen.

Ich versuche eine Formel zu finden mit welcher ich beliebige Punkte bestimmen kann, die auf dem Umkreis um einen Punkt auf einer Kugeloberfläche liegen. Dabei habe ich den Punkt auf der Kugeloberfläche gegeben und den Radius des Umkreises. Zum Beispiel möchte ich auf der Erdkugel den Umkreis um Berlin in einem Radius von 30 km berechnen. Dabei will ich aber nicht einen Kleinkreis innerhalb der Erdkugel bestimmen, sondern den tatsächlichen Umkreis des Ortes unter Berücksichtigung der Kugeloberfläche. Ich möchte also die Punkte bestimmen können, die in einem gegebenen Abstand auf einem Großkreisbogen zu einem bestimmten Punkt auf der Kugeloberfläche liegen.

Der gegebene Mittelpunkt liegt in Kugelkoordinaten vor. Die gesuchten Punkte benötige ich ebenfalls in Kugelkoordinaten.

Mit erster Ansatz war es die Kugelkoordinaten in das kartesische Koordinatensystem zu übertragen und dann um den gegebenen Punkt zu rotieren um die Punkte auf den jeweilgen Großkreisen zu bestimmen. Allerdings konnte ich die Formel zur Bestimmung aller Großkreise durch einen bestimmten Punkt nicht bestimmen.

Ich bin euch also für jede Hilfe dankbar um entweder mein komplettes Problem zu lösen, oder wenigesten Teilprobleme wie das Bestimmen der Großkreise zu lösen.

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

Mit freundlichen Grüßen
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#2

Hallo, nach dem, was Du über Groß- und Kleinkreise schreibst, wird die Formel Dir nicht helfen. Wenn Dich die Koordinaten aus praktischen Gründen interessieren, Ziehe einen 30 Km-Kreis auf zusammengeklebten 25000der oder 50000der Karten und lies die Krüger-Gauß Koordinaten ab und wandle sie in geographische um. Programme dazu findest Du im Netz.

In Gedanken kannst Du den Mittelpunkt auf den Nordpol legen und alle Koordinaten vor Deinem geistigen Auge sehen. 111Km sind zienlich genau 1 Grad, vom Erdmittelpunkt aus gesehen. Danach kannst Du ihn auf 0° Länge, 0° Breite legen. Zum Üben. Ist nicht leicht. Gruß, eck.

#3

Hallo,

ich weiß nicht, ob ich Dir wirklich helfen kann.
Hilft Rainer Stumpe weiter ?

http://www.rainerstumpe.de/HTML/kurse3.html#Wegpunkt

A = Mittelpunkt
Orthodrome = Radius
alpha = der Winkel mit dem Du den Kreispunkt um A wandern lassen kannst.

Dazu den Seitencosinussatz benutzen.

Grüße Roland

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#4

Geocaching, Respekt vor dem Owner
Hossa :smile:

Die Aufgabe ist hübsch und gar nicht so schwierig. Auf mich wirkt sie wie ein typsiches Geocaching-Rätsel. Daher möchte ich dir aus Respekt vor dem Owner keine ausführliche Hilfe geben. Nur ein kleiner Tipp, lege den bekannten Mittelpunkt so, dass er auf der z-Achse liegt…

Viele Grüße

Hasenfuß

#5

Hallo Roland, wahrscheinlich wolltest Du dem Fragenden antworten, aber ich finde den Link auch nützlich. Vielen Dank dafür. Gruß, eck.

#6

Hallo Eckhart,

i.d.R. antworte ich chronologisch, so dass man die Antworten nacheinander aufrufen kann - und dabei gelegentlich auf etwas Neues trifft. Hier war mir den Name des Original-Posters zu kompliziert …
was macht der überhaupt ?

Grüße Roland

#7

Hallo Hasenfuß,

danke für deine Antwort, ich bin bisher leider nicht mehr dazu gekommen an diesem Problem weiter zu werkeln. Es geht hierbei nicht um ein Geocaching-Rätsel, sondern um ein von mir geschriebenes Script welches die Google Maps V3 API verwendet. Die API stellt bereits Funktionen bereit um einen Umkreis um einen bestimmten Punkt mit einem Radius von n Kilometern zu zeichnen.
Als kleine Herausforserung an mich selbst habe ich versucht diese Funktion nachzuimplementieren, habe aber nur eine „In etwa“-Lösung hinbekommen. Die Berechnung des Umkreises ist also rein persönliches Interesse. Meine Web-Applikation verwendet die fertige Circle-Funktionalität der Google Maps V3 API.

Gruß

#8

Hallo und vielen Dank für die Antworten,

ich bin bisher nicht mehr dazu gekommen an dem Problem weiter zu werkeln. Die Informationen aus dem Link habe ich mir allerdings angeschaut und denke, dass ich mit diesen mein Problem lösen können sollte, danke.
Ich schreibe zur Zeit an einer Web-Applikation mit Maps welche die Google V3 API verwendet. Die API stellt bereits eine Möglichkeit bereit einen Umkreis auf einer Karte zu zeichnen, allerdings wolte ich versuchen diese Funktion aus reinem Interesse bzw. als kleine Herausforderung an mich selbst nachzuimplementieren. Dabei musste ich feststellen, dass ich damals in Mathematik wohl etwas besser hätte aufpassen sollen :wink:.

Gruß

#9

Hallo,

sowas in der Art
http://www.gpsvisualizer.com/calculators

unten: Draw Range Rings … ?

Roland

#10

Genau sowas in der Art. Wie gesagt, es gibt von Google Maps eine fertige Funktion dafür. Mich interessiert aber zusätzlich der mathematische Hintergrund. Ich denk, ich werde mich am Wochenende nocheinmal damit beschäftigen. Vielen Dank für Ihre Antworten.