Umordnung... häh?

Wissenschaft Physik
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Also ich glaube ich bin verwirrt:
Ich habe eineAufgabe gekriegt in Analysis die nicht wirklich schwer ist, mich aber verwirrt Die Aufgabe lautet:
Konstruiere eine Umordnung der alternierende harmonischen Reihe, die bestimmt divergiert und eine, die gegen Null konvergiert.

Also die harmonische Reihe ist ja Summe n bis unendlich von 1/n alternierend wäre sie mit (-1)hoch n mal 1/n Aber, sowohl die alternierende als auch die harmonische Reihe sind doch divergent oder ändert sich da was?
Der rest ist ja kein Problem aber das hat mich doch verwirrt wäre schön wenn mir jemand helfen könnte
Fettes Merci
Sarah

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Hallo Sarah,

Also die harmonische Reihe ist ja Summe n bis unendlich von
1/n alternierend wäre sie mit (-1)hoch n mal 1/n Aber, sowohl
die alternierende als auch die harmonische Reihe sind doch
divergent oder ändert sich da was?

Ja!
Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent, während die harmonische selbst divergent ist. Die Konvergenz zeigt man durch Anwendung des Leibniz Kriteriums für alternierende Reihen, da 1/v eine monoton fallende Nullfolge nicht negativer Zahlen ist.

Tschüüüüüüß

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Huhu :smile:

Ja, das ist so eine Sache mit der Unendlichkeit. Ich versuche mal eine anschauliche Erklärung. Die alternierende harmonische Reihe lautet:

S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 …

Es fällt auf, dass vor allen Brüchen mit geradem Nenner ein Minuszeichen steht. Ich sortiere diese unendlich lange Reihe S nun so um, dass ich alle Brüche mit einer Zweier-Potenz im Nenner „nach vorne“ schreibe …

S’ = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64 …

Da es in S unendlich viele solcher Brüche gibt, rücken alle anderen Brüche unendlich weit nach hinten. Bei der Berechnung der Summe kommen sie daher niemals dran, weil ich ja zuvor die unendlich vielen Zweier-Potenz-Brüche summieren muss. Offensichtlich konverigert S’ gegen 0.

Eine sicher divergente Umordnung der Reihe erhalte ich, wenn ich alle positiven Summanden nach vorne schreibe und alle negativen nach hinten …

S’’ = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 …

Wieder gibt es unendlich viele Brüche mit positivem Vorzeichen, so dass ich nie dazu komme, die negativen anzufassen …

Wenn du es mathematisch exakt wissen möchtest, schau mal unter „absoluter Konvergenz“ nach :smile:

Viele Grüße

Stefan

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Hallo Stefan!

Es fällt auf, dass vor allen Brüchen mit geradem Nenner ein
Minuszeichen steht. Ich sortiere diese unendlich lange Reihe S
nun so um, dass ich alle Brüche mit einer Zweier-Potenz im
Nenner „nach vorne“ schreibe …

S’ = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64 …

Da es in S unendlich viele solcher Brüche gibt, rücken alle
anderen Brüche unendlich weit nach hinten. Bei der Berechnung
der Summe kommen sie daher niemals dran, weil ich ja zuvor die
unendlich vielen Zweier-Potenz-Brüche summieren muss.
Offensichtlich konverigert S’ gegen 0.

Das ist keine Umordnung. Umordnung heißt, daß _jeder_ Summand der Ursprungsreihe vorkommt. Das heißt, du mußt sagen können, an welcher Position z.B. 1/3 vorkommt (mit dem richtigen Vorzeichen). Das kannst du bei der Reihe oben nicht, ergo ist das eine Teilsumme (!) und keine Umordnung.

Die alternierende harmonische Reihe kann man so umordnen, daß sie gegen einen beliebigen Grenzwert (z.B. 42 oder sqrt(2)) „konvergiert“. Dabei ist der Begriff der „Konvergenz“, den ich hier benutze, natürlich eigentlich verkehrt, denn eine Reihe ist keine Folge, und nur für die gibt’s den Begriff. Ich habe aber keine Lust, dauernd von „Konvergenz der Partialsummen“ zu sprechen! :wink:

Beispiel: Du willst, daß die alternierende harmonische Reihe z.B. gegen 2 konvergiert. Du teilst die Reihe in positive Summanden (die nennen wir mal a_i) und negative Summanden (b_i). Du nimmst jetzt erstmal so lange positive Summanden dazu, bis du in Summe was erzähltst, das größer ist als 2:

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/15

Dann nimmst du negative Summanden (von b_i), bis die Gesamtsumme kleiner ist als 2:

1 + … + 1/15 - 1/2

Jetzt wieder positive Summanden, bis wieder größer als 2:

1 + … + 1/15 - 1/2 + 1/17 + … + 1/41

Jetzt wieder negative, bis kleiner als 2:

1 + … + 1/15 - 1/2 + 1/17 + … + 1/41 - 1/4

und so weiter.

Du kannst beweisen, daß diese Folge gegen 2 konvergiert.

Du kannst auf die gleiche Art und Weise auch eine Reihe bauen, die divergiert. Das geht so:

So lange positive Glieder nehmen, bis die Summe > 1 ist:

1 + 1/3

Dann so lange negative Summanden nehmen, bis die Summe 1 ist:

1 + 1/3 - 1/2 - … - 1/16 + 1/5 + … + 1/31

und so weiter. Die Reihe konvergiert nicht.

Du muß hier jeweils zwei Dinge zeigen:

  1. Ich kann immer hinreichend (pos. oder neg.) Summanden finden so daß ich kleiner bzw. größer als die vorgegebene Schranke werde. Das geht über die fehlende absolute Konvergenz. Damit zeigst du auch gleich, daß du alle positiven und negativen Summanden der Reihe „verbrauchst“, das ganze also eine Umordnung ist.

  2. Ich muß zeigen, daß die Umordnung konvergiert. Das ist recht einfach, man muß sich nur überlegen, wie groß denn maximal die Abweichung zum Zielwert sein kann.
    Im letzten Fall muß man natürlich die Divergenz beweisen, aber das ist trivial.

Wenn’s damit noch Probleme gibt, bitte melden!

Chris