Hallo,
keine Ahnung ob meine Antwort schon zu spät kommt, aber ich war einige Zeit nicht am Rechner.
Also, Fahrtkostenerstattungen sind auch Leistungen, das hat aber nicht zwangsläufig Auswirkungen auf die Beantwortung Ihrer Frage.
Grundsätzlich ist es so das unter 25jährige die Mitglieder einer Bedarfsgemeinschaft sind nicht so ohne weiteres umziehen oder ausziehen dürfen.
In Ihrem Fall hört es sich aber so an das Ihre Freundin und Sie gemeinsam genug Einkommen hätten das sowieso kein Hartz IV Anspruch mehr bestehen würde wenn sie einen gemeinsamen Hausstand bilden, von daher kann das Amt den Umzug eigentlich nicht verweigern.
Was das Amt jedoch unter Umständen verweigern kann sind Hilfen zum Umzug, also keinerlei Umzugkosten würden ggf. übernommen, wobei das schwer zu sagen ist weil ich Ihre Akte einfach nicht kenne und nicht 100% sicher bin ob Ihre Freundin nun darauf überhaupt einen Anspruch hätte.
Worauf der Auszug Ihrer Freundin aus dem elterlichen Haushalt hat sind die Leistungen der Eltern.
Es kann sein das die Wohnung der Eltern durch Auszug ggf. zu groß und zu teuer wird, da dann bei der Berechnung der Größe und der angemessenen Kosten eine Person weniger zählt, um das aber eindeutig beantworten zu können habe ich zu wenig Informationen.
Grundsätzlich gilt jedenfalls das Ihrer Freundin niemand den Umzug verweigern kann wenn sie dadurch aus jeder Leistung herauskommt, was sehr wahrscheinlich bei Ihrem Einkommen der Fall sein dürfte.