Uneigentliches integal - aufgabe

[Anne_S_hnel_a3ce41]

hallo,
in einer übungsaufgabe für das abi ist mir folgendes gegeben.

integral von e^(-x²*0,5) dx = (2*phi)½ mit den obergrenze von pluns unendlich und als untergrenze minus unendlich

nun steht hier:
berechne mit hilfe dieses als bekannt angenommen integrals das volumen des unbegrenzten drehkörpers, der bei rotation des graphen ƒ um die x-achse entsteht.

wenn ich das integral nicht selbst bilde, sondern einfach das ganz zum quadrat und dann mal phi müßte ich auf das ergebnis kommen, oder?

wenn jemand die lösung des integrals dokumentieren könnte, od. zumindest sagen könnte was ich substituieren könnte, wäre das hilfreich

danke
anne

[Dilda_8603d5]

Nähere Erläuterungen nötig
Hallo, Anne!

integral von e^(-x²*0,5) dx = (2*phi)½ mit den obergrenze von
pluns unendlich und als untergrenze minus unendlich

Das ist etwas undeutlich geschrieben, finbdest Du nicht?
Meinst Du:

e^(-[x^2]/2) und was soll (2*phi)½ sein? Eine Wurzel vielleicht?

nun steht hier:
berechne mit hilfe dieses als bekannt angenommen integrals das
volumen des unbegrenzten drehkörpers, der bei rotation des
graphen ƒ um die x-achse entsteht.

Kennst Du denn die Formel zur Berechnung eines solchen Drehkörpers? Oder darf man das Dir nicht aus der zuen Nase ziehen? Bitte etwas Eigentätigkeit.
Nix für unschlecht,
ciao, moin, manni

[Anne_S_hnel_a3ce41]

Das ist etwas undeutlich geschrieben, finbdest Du nicht?
Meinst Du:

e^(-[x^2]/2) und was soll (2*phi)½ sein? Eine Wurzel
vielleicht?

ja - tut mir leid men computer hat nun mal kein wurzel zeichen (ich habe es zumindest nicht gefunden) außerdem ist hoch ½ das gleiche wie wurzel aus!

nun steht hier:
berechne mit hilfe dieses als bekannt angenommen integrals das
volumen des unbegrenzten drehkörpers, der bei rotation des
graphen ƒ um die x-achse entsteht.

Kennst Du denn die Formel zur Berechnung eines solchen
Drehkörpers? Oder darf man das Dir nicht aus der zuen Nase
ziehen? Bitte etwas Eigentätigkeit.

die formel für rotations körper lauten phi mal dem integral von [f(x)]²dx (mit jeweiligen ober und untergrezen).

ist meine vermutung falsch, das ich das ergebis (2*phi)½ zum quadrat nehme und dann das ganze noch mal phi? oder wäre das zu simpel und auch falsch?

anne

[Martin]

Hallo Anne,

e^(-[x^2]/2) und was soll (2*phi)½ sein? Eine Wurzel
vielleicht?

ja - tut mir leid men computer hat nun mal kein wurzel zeichen
(ich habe es zumindest nicht gefunden) außerdem ist hoch ½ das
gleiche wie wurzel aus!

Anmerkung 1: Mit „phi“ hast Du die irrationale Kreismessungszahl „pi“ (= 3.141592653…) gemeint. Vorsicht: Es gibt im griechischen Alphabet sowohl „phi“ als auch „pi“. Auftrag an Dich: Lexikon schnappen; griechisches Alphabet vornehmen; angucken, wie „phi“ und „pi“ aussehen; klarmachen, daß es wirklich zwei verschiedene Buchstaben sind, und in Zukunft bitte „pi“ schreiben, wenn Du 3.141592653… meinst.

Anmerkung 2: Wenn Du den Ausdruck „Wurzel aus a + 5b“ hier im Wer-Weiss-Was darstellen willst, schreib einfach „Wurzel(a + 5b)“ oder „sqrt(a + 5b)“ („sqrt“ kommt vom englischen „square root“). Das ist am einfachsten und unmißverständlichsten; alles andere kann zu leicht zu Verwirrungen führen.

die formel für rotations körper lauten phi mal dem integral
von [f(x)]²dx (mit jeweiligen ober und untergrezen).

So ist es.

ist meine vermutung falsch, das ich das ergebis (2*phi)½ zum
quadrat nehme und dann das ganze noch mal phi? oder wäre das
zu simpel und auch falsch?

Ja, es wäre falsch. Grund: Wenn Du ein Integral S[a, b] f(x) dx hast, welches den Wert w ergibt, dann ist das Integral S[a, b] f²(x) dx im allgemeinen nicht gleich w². Auftrag an Dich: Überzeuge Dich selbst davon anhand des Beispiels f(x) = x^3 (Integrationsgrenzen a = 0, b = 1).

Nun zu Deiner Aufgabe. Ausrechnen sollst Du das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn Du den Graph der Funktion f(x) = e^(-1/2 x^2) um die x-Achse rotieren läßt.

Wie Du schon sagtest, ist das Volumen eines Rotationskörpers gegeben durch

V_{Rotationskörper} = pi S[x₁…x₂] f²(x) dx

Angewendet auf Deine Funktion kommst Du damit auf:

V = pi S[-oo…+oo] (e^(-1/2 x^2))^2 dx
= pi S[-oo…+oo] e^(2*(-1/2 x^2)) dx
= pi S[-oo…+oo] e^(- x^2) dx

Beim Übergang von der ersten zur zweiten Zeile hast Du das Potenzgesetz (a^m)^n = a^(mn) verwendet.

Nun mußt Du noch S[-oo…+oo] e^(- x^2) dx ausrechnen. Dieses Integral sieht nun fast so aus wie das Integral S[-oo…+oo] e^(-1/2 x^2) dx, das die angenehme Eigenschaft hat, daß Du seinen Wert kennst: S[-oo…+oo] e^(-1/2 x^2) = sqrt(2 pi).

Frage also: Wir kommst Du von S[-oo…+oo] e^(- x^2) dx nach S[-oo…+oo] e^(-1/2 x^2) dx???

Das herauszufinden, überlasse ich Dir (Tip: Substitution x –> geeigneter Faktor mal x). Wenn Du es nicht schaffst, frag hier nochmal nach. Damit Du Dein Endergebnis kontrollieren kannst: V = pi^(3/2).

Mit freundlichem Gruß
Martin

[Dilda_8603d5]

Klein Phi macht auch Mist!
Hallo Ann!
Das ist fürnen Nörgler wie mich natürlich ein gefressedes Funnen, der Fehler mit der Verwechselung der Buchstaben phi und pi!!!
Und wenn Du e^(-[x^2]/2) richtig „potentiv“ zumindest abschreiben kannst, warum denn nicht auch
(2*pi)^[1/2]) für (2*phi)½ ?
Man schreibt hier auch SqRt(2pi) dafür.

Nu, wo die Sache klarer ist, kömmer schaman daran gehen alle, Dir zu helfen.

Mein erster Ansatz besteht in folgendem:

A = Int{(e^[-x^2/2])*dx} sei bekannt als (2pi)^2.

V = pi*Int{f[x]^2*dx}, -oo, +oo (oo ist „unendlich“)

Dabei ist f[x]^2 hier = {e^[-x^2/2]}^2 = e^[-x^2],

Klein Phi macht auch Mist!

Hallo Ann!
Das ist fürnen Nörgler wie mich natürlich ein gefressedes Funnen, der Fehler mit der Verwechselung der Buchstaben phi und pi!!!
Und wenn Du e^(-[x^2]/2) richtig „potentiv“ zumindest abschreiben kannst, warum denn nicht auch
(2*pi)^[1/2]) für (2*phi)½ ?
Man schreibt hier auch SqRt(2pi) dafür.

Nu, wo die Sache klarer ist, kömmer schaman daran gehen alle, Dir zu helfen.

Mein erster Ansatz besteht in folgendem:

A = Int{(e^[-x^2/2])*dx} sei bekannt als (2pi)^2.

V = pi*Int{f[x]^2*dx}, -oo, +oo (oo ist „unendlich“)

Dabei ist f[x]^2 hier = {e^[-x^2/2]}^2 = e^[-x^2]

Nun ist also

V/pi = Int{(e^[-x^2])*dx}, -oo, +oo;
und es ist der Zusammenhang herzustellen zum bekannten Integral Int{(e^[-x^2/2])*dx}
KEINE „offensichtlichen Triviallösungen“!!!

Wie wärs mit dem Substitutionsversuch -x^2/2 = -z^2 ??
Denn bekannt ist ja nur das Integral mit dem Integranden der Wurzel aus dem Integranden des gesuchten Integrals!

Dazu bietet sich „natürlich“ eine Art Rückschreiten an, da es sich ja um das Integral des Quadrates handelt.
Und Int{(f[x]^2)*dx} stellt sich durch partielle Integration dar als
(f[x]*Int{(f[x])*dx}),-+oo, - Int{(f[x]*Int(f[x]*dx)*dx}
Und da bin ich nun am Ende von meinem Minilatinum.
Ich halte es nicht für ausgeschlossen, daß Ihr hier nur „aufs Glatteis“ geführt werden sollt, und hoffe, Dir wengstens ein wenig mehr Ideen gezeigt zu haben.

Ciao, moin, manni.

P.S.:
Du hattest einen Fehler gemacht in Deiner „Vermutung“, den ich Dir am Kugelvolumen demonstrieren kann:
Eine Kugel ist ja auch ein „rotierter Kreis“, ihr Volumen wäre also nach Deiner Idee irgendwie gleich (pi*r^2)^2 = pi^2*r^4, aber bekanntlich ist es = [4/3]*pi*r^3. Es ist ja das Integralk über die Quadrate der Funktionswerte zu nehmen, nicht „irgendwie“ über das Quadrat der Querschnittsfläche.

Kennst Du eigentlich auch die Möglichkeit, Deine Aufgaben der gesamten geneigten Öffentlichkeit des „Experten-Forums“ vorzustellen? (Links im Menü unter der „Experten-Suche“).

Ciao, moin, manni.

P.S.:
Du hattest einen Fehler gemacht in Deiner „Vermutung“, den ich Dir am Kugelvolumen demonstrieren kann:
Eine Kugel ist ja auch ein „rotierter Kreis“, ihr Volumen wäre also nach Deiner Idee irgendwie gleich (pi*r^2)^2 = pi^2*r^4, aber bekanntlich ist es = [4/3]*pi*r^3. Es ist ja das Integralk über die Quadrate der Funktionswerte zu nehmen, nicht „irgendwie“ über das Quadrat der Querschnittsfläche.

Kennst Du eigentlich auch die Möglichkeit, Deine Aufgaben der gesamten geneigten Öffentlichkeit des „Experten-Forums“ vorzustellen? (Links im Menü unter der „Experten-Suche“).

Meinen Nachantworter finde ich jetzt erst.
Vielleicht weiß er ja mehr, speziell zur Substitution.

[Dilda_8603d5]

Ganz tüttelich wie mein PC…
Hallo, Ann!
Bin ich heute, und bitte nu noch tüttelicher um Entschuldigung für die Wiederholungen im letzten Brief.
Aber, wie Du anfangs schon schriebst: isscha „Integal“.

Klar ist die von mir angegebene Substitution, in der „direkten“ Form x = z/SqRt(2) die richtige und führt auch schließlich zu dem auffallenden Ergebnis.

Versuch aber nu bloß nicht, das in der Aufgabe als „bekannt“ angegebene Integral zu beweisen.
Manchmal gibt es keine Stammfunktion, wie bei dieser, und wie auch bei der Formel Zeta(x+1) = Int{(-ln[t]^x)/[1-t])*dt}, das ich für ganzzahlige x auf ebenso elementaren Wege bewiesen habe, wo auch im Ergebnis schwer erklärbarer Weise die Zahl pi mit Exponenten auftritt.
Die anderen werdens wissen, für Dich aber wohl neu:
Zeta(2) = Summe{1/m^2}, 0