Hi
habe „0,9p = 1“ - Diskussion verfolgt.
Diese Begebenheit war mir selber nicht
bekannt (habe das in der Schule nicht
gelernt)
Einer schreibt: „unendlich kleine Zahlen
gibt es in R nicht“
Bedeutet das, daß man diese Zahlen = 0
setzt? Das hört sich dort so an.
Arne
(bin kein Mathematiker, Physiker…
bin nur ein Elektriker)
Einer schreibt: „unendlich kleine Zahlen
gibt es in R nicht“
Bedeutet das, daß man diese Zahlen = 0
setzt? Das hört sich dort so an.
Du musst aber eine Zahl benennen können, d.h. es muss zumindest eine Beschränktheit vorliegen oder ein Kriterium, dass diese Zahl nicht 0 ist (und nicht 0 heisst im Zweifel per Def. dass es einen Abstand Delta zu 0 gibt) - wenn es Zahlen geben würde, für die diese Beschränktheit nicht gilt wuerde das mathematisch heissen, dass es konvergente Nullfolgen gibt, die nicht 0 werden - was die Mathematik wohl elementar aushebeln wuerde.
Es gibt also kein 0,0Periode1 - denn du kannst keine Zahl benennen, gegen den die Zahl konvergiert.
Das Problem des unendlich kleinen ähnelt dem unendlich grossen - nur das der Grenzwert 0 heisst.
Gruss
Hi Dirk
ich habs noch nicht so ganz…
wie sieht es mit dem Beispiel aus:
Frosch sitzt 1m vor Mauer und springt
jeweils die Hälfte der verbleibenden
Strecke zur Mauer in Richtung Mauer.
Der Abstand wird also unendlich klein.
Kommt er trotzdem an oder nicht?
Arne
Ähnlichkeit mit einer alten Geschichte
Kommt er trotzdem an oder nicht?
Es gibt eine alte Geschichte, die der Fragestellung nach ähnlich ist. Ich meine die Behauptung, man könne ja nie an ein Ziel gelangen, da man die jeweils verbleibende Strecke s halbieren kann und stets eine Zeit t braucht, um diese Hälfte zurückzulegen. Das läßt sich unendlich oft wiederholen. Also, der falsche Schluß, kann man nie ankommen.
Der Haken dabei ist, dass bei konstanter Geschwindigkeit die jeweils benötigte Zeit t auch unendlich klein wird und der Quotient aus zwei unendlich kleinen Werten durchaus endlich sein kann (in diesem Fall die Geschwindigkeit=Wegdifferenz/Zeitdifferenz)
Ob Dein Frosch also (in endlicher Zeit) ankommt oder nicht, hängt davon ab, wieviel Zeit er für jeden Sprung benötigt. Sind die Zeitintervalle konstant, kommt er erst nach unendlich langer Zeit an, also praktisch nie. Geht die Zeitdifferenz ebenfalls hinreichend schnell gegen Null, kommt er an. Es mag auch Fälle geben, wo die Zeitdifferenz zwar gegen Null geht, aber so langsam konvergiert, daß er doch unendlich lange braucht. Aber um das zu prüfen, fehlt mir jetzt die Zeit, das überlasse ich anderen.
Viele Grüße
Frank
Frosch sitzt 1m vor Mauer und springt
jeweils die Hälfte der verbleibenden
Strecke zur Mauer in Richtung Mauer.
Der Abstand wird also unendlich klein.Kommt er trotzdem an oder nicht?
Das ist genau eine berechenbare Nullfolge, die das Grenzwert-Problem (und unser Problem mit der Unendlichkeit) zeigt:
er kommt beliebig nah dran und der Grenzwert dieser Folge ist 0, obwohl 0 selbst nie erreicht werden kann.
Berechenbar heisst aber genau, was ich in meiner Antwort zeigen wollte: du kannst nach jedem Sprung ganz genau sagen (und die Zahl in R definitv benennen), wie nah er dran ist. Das heisst es ist eben keine unendlich kleine Zahl - sie wird nur mit jedem Sprung immer kleiner - unendlich klein ist sie nur nach unendlich vielen Sprüngen und wieviele sind das ? Per Definition ist nach unendlich vielen Sprüngen der Abstand 0.
Worüber oben diskutiert wurde, ist eine Zahl, bei der ich das nicht kann, das heisst es gibt keine ermittelbare Schranke zur 0 hin, aber es wird nicht 0 - und das ist ein mathematischer Widerspruch (und wird m.E. immer einer sein, alle Theoretiker werden keine sinnvolle Definition oder Lösung konstruieren können)- wenn es keine Schranke gibt und unendlich (undefiniert) viele Sprünge, dann ist der Grenzwert für unendliche Sprünge gleich 0 - das ist sozusagen die Mutter aller Grenzwert-Definitionen - mit denen in der Mathematik (Analysis, Algebra) eine riesige Menge bewiesen wird.
Ein Physiker würde wahrscheinlich sogar sagen, wenn er näher als 1 Elektron oder Quark oder was auch immer gerade aktuell ist) dran ist, ist nichts mehr dazwischen.
Das Ganze ist auch ein wenig philosophisch bzw. Basis-mathematisch geprägt - was ist unendlich gross (da akzeptiert jeder, dass es einfach der Grenzwert „unendlich - die liegende 8“ ist) - unendlich klein ist definiert mit Grenzwert 0.
Gruss
Worüber oben diskutiert wurde, ist eine:Zahl, bei der ich das nicht kann, das:heisst es gibt keine ermittelbare:Schranke zur 0 hin, aber es wird nicht 0:- und das ist ein mathematischer:Widerspruch
Nein, sondern nur ein Wahlm"oglichkeit. Man kann auch sowas wie endliche infinite Zahlen definieren, genau wie Infinitesimale, mit denen normal gerechnet werden kann.
(und wird m.E. immer einer:sein, alle Theoretiker werden keine:sinnvolle Definition oder Lösung:konstruieren können)
Robinson in den 60-er Jahren, Nelson etwas eleganter in de 70-er Jahren…(nicht ganz, Infinitesimale haben einen endlichen, aber „unendlich“ kleinen Abstand zur Null)
- wenn es keine:Schranke gibt und unendlich (undefiniert):viele Sprünge, dann ist der Grenzwert für:unendliche Sprünge gleich 0 - das ist:sozusagen die Mutter aller:Grenzwert-Definitionen - mit denen in der:Mathematik (Analysis, Algebra) eine:riesige Menge bewiesen wird.
Dann wird es Dich erstaunen, dass bis zur Mitte des letzten Jh. nur mit Infinitesimalen (moderne Snobs w"urden sagen: naiv) gerechnet und alle wesentlichen S"atze der Analysis bewiesen wurden. Noch Riemann fand alle seine Theorien mit Infinitesimalen, auch das Integral (auf 2 Blatt Papier mit Definition von Funktionen beschr"ankter Variation).
Das Ganze ist auch ein wenig:stuck_out_tongue:hilosophisch bzw. Basis-mathematisch :geprägt - was ist unendlich gross (da:akzeptiert jeder, dass es einfach der:Grenzwert „unendlich - die liegende 8“:ist)
Nana, das ist kein Grenzwert und auch keine Zahl.
Ciao Lutz
Dann wird es Dich erstaunen, dass bis zur
Mitte des letzten Jh. nur mit
Infinitesimalen (moderne Snobs w"urden
sagen: naiv) gerechnet und alle
So ganz naiv ist das wohl nicht! Wenn Du die reellen Zahlen R in R(X), X beliebiges transzendentes Element über R, einbettest, dann hast Du tatsächlich unendlich große Elemente (z.B. X, also X>x für alle x in R) und unendlich kleine Elemente (z.B. 1/X
So ganz naiv ist das wohl nicht! Wenn Du:die reellen Zahlen R in R(X), X:beliebiges transzendentes Element über R,:einbettest, dann hast Du tatsächlich:unendlich große Elemente (z.B. X, also:X>x für alle x in R) und unendlich:kleine Elemente (z.B. 1/XDarwin kann nicht recht haben.