Wir hatten heute im Unterricht folgende Diskussion zum Thema Optionsscheine:
Der Stillhalter (Verkäufer) einer Kaufoption, hat ein (theoretisch) unbegrenztes Risiko bei Inanspruchnahme, wenn er die Aktien die er liefern soll erst am Markt beschaffen muss - da der Kurs des Basiswertes (theoretisch !) ins Unendliche steigen kann.
Da er aber bei Verkauf der Option aber die Optionsprämie kassiert, herrscht bei einigen in unserem Kurs die Meinung, dass deswegen sein Verlust nicht mehr unbegrenzt ist. Einige andere sind der Meinung, dass „Unendlich Minus Optionsprämie“ immer noch unendlich ist.
Wie ist hierzu die mathematische Antwort ?
Danke, dass Ihr uns bei unserem eher kleinen Problem behilflich seid.
Stephan
Wir hatten heute im Unterricht folgende Diskussion zum Thema
Optionsscheine:
Der Stillhalter (Verkäufer) einer Kaufoption, hat ein
(theoretisch) unbegrenztes Risiko bei Inanspruchnahme, wenn er
die Aktien die er liefern soll erst am Markt beschaffen muss -
da der Kurs des Basiswertes (theoretisch !) ins Unendliche
steigen kann.
Da er aber bei Verkauf der Option aber die Optionsprämie
kassiert, herrscht bei einigen in unserem Kurs die Meinung,
dass deswegen sein Verlust nicht mehr unbegrenzt ist. Einige
andere sind der Meinung, dass „Unendlich Minus Optionsprämie“
immer noch unendlich ist.
Wie ist hierzu die mathematische Antwort ?
Üblicherweise wird in der Mathematik oo-x (wenn x eine reelee Zahl ist) wieder als oo definiert.
Auch wenn ich kein Finanzmathematik-Experte bin, möchte ich dies aber trotzdem noch im Zusammenhang mit Eurem Problem diskutieren.
Meiner Meinung nach hat die Rechnung oo-x gar nichts mit Eurer Fragestellung zu tun. Der Verlust nimmt ja nie den Wert unendlich an, sondern einen beliebig grossen Wert. In diesem Sinne nimmt auch nach Verrechnung mit der Optionsprämie der Verlust beliebige grosse Werte an. In diesem Sinn ist unter Euren Annahmen der Verlust auch nach Abzug der Optionsprämie unbeschränkt (aber nicht unendlich).
Dass trotz diesen schlechten Resultaten Optionen gehandelt werden, liegt daran, dass entweder die ganz grossen Verluste entweder extrem kleine Wahrscheinlichkeit haben oder aber sogar ganz ausgeschlossen bleiben.
ist der Verlust auch nach Abzug der Optionsprämie
unbeschränkt (aber nicht unendlich).
Hallo Urs, erst mal Danke für Deine Antwort.
Was ist der Unterschied zwischen unendlich und unbeschränkt ?
Uns ist klar, dass in der Realität diese Überlegungen so gut wie keine Rolle spielen. Aber es entstanden trotz allem heisse Diskussionen. Wenn ich von einer unendlichen Zahl etwas abziehe, ob das Ergebnis dann immer noch unendlich ist ?
Uns ist klar, dass in der Realität diese Überlegungen so gut
wie keine Rolle spielen. Aber es entstanden trotz allem heisse
Diskussionen. Wenn ich von einer unendlichen Zahl etwas
abziehe, ob das Ergebnis dann immer noch unendlich ist ?
Es ist so eine Sache mit der Unendlichkeit.
Grundsätzlich gilt: Habe ich unendlich viel von etwas, dann kann ich eine beliebige, endliche Menge davon wegnehmen und es bleibt unendlich.
Nimm Dir z.B. die natürlichen Zahlen. Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat gibt es zweifellos unendlich viele natürliche Zahlen.
Wenn Du jetzt die 1 entfernst, dann hast Du immernoch unendlich viele Zahlen. Du kannst in manchen Fällen sogar unendlich viele Zahlen erhalten: z.B. Die natürlichen Zahlen ohne die ungeraden Zahlen = die Menge der geraden Zahlen = unendlich.
(Allerdings kann das auch leicht schief gehen. Beispiel: Die natürlichen Zahlen ohne diejenigen natürlichen Zahlen, die größer als 1 sind. = 1)
Über die Unendlichkeit kann man sehr intensiv und lange nachgrübeln. Es gibt z.B. genausoviele ganze Zahlen, wie natürliche Zahlen, aber mehr reelle Zahlen.
Aber Du hast Recht:
00 - x = 00
für endlich große x.
So, zwischen unbegrenzt und unendlich besteht allerdings ein kleiner Unterschied: es gilt unendlich >= unbegrenzt
Bsp: eine Bakterienkultur kann unbegrenzt wachsen. Das theoretische Maximum vom unendlichen geometrischen Raum hat sie damit aber noch nicht erreicht.
Und ja: 00-x = 00 (immer noch)
Was ist der Unterschied zwischen unendlich und unbeschränkt ?
Um bei Deinem Beispiel zu bleiben. Eine Aktie kann den Wert unendlich annehmen, heisst, dass sie wirklich den Wert unendlich hat. Natürlich macht das bei Optionen keinen Sinn. Aber es gilt zum Beispiel dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.
Wenn die Werte der Aktie unbeschränkt ist, heisst es, dass egal welche endliche Zahl ich Dir vorgebe, kann der Wert darüber liegen. Aber der Wert kann jedesmal endlich sein. Zum Beispiel ist die Funktion x->x auf IR unbeschränkt, denn sie übertrifft jeden endlichen Wert an einer Stelle. Aber der Wert unendlich wird nicht angenommen.
Was Du hier siehst, ist ein kleiner Unterschied, den man trotzdem nicht übersehen sollte.
Um bei Deinem Beispiel zu bleiben. Eine Aktie kann den Wert
unendlich annehmen, heisst, dass sie wirklich den Wert
unendlich hat.
Unendlich ist kein Wert, sondern ein Grenzwert und bedeutet, dass eine Folge über alle Schranken wächst. Von daher kann man auch unendlich durchaus als unbeschränkt auffassen.
Aber es gilt zum Beispiel dass es unendlich viele natürliche
Zahlen gibt.
Hier versuchst du den Begriff der Unendlichkeit aus der Analysis mit dem der Mengenlehre zu vergleichen, was nicht geht, da die beiden Begriffe nicht austauschbar sind.
Wenn die Werte der Aktie unbeschränkt ist, heisst es, dass
egal welche endliche Zahl ich Dir vorgebe, kann der Wert
darüber liegen. Aber der Wert kann jedesmal endlich sein.
Aber nicht, wenn sie über jeder Schranke liegen soll.
Zum
Beispiel ist die Funktion x->x auf IR unbeschränkt, denn
sie übertrifft jeden endlichen Wert an einer Stelle. Aber der
Wert unendlich wird nicht angenommen.
In diesem Fall wäre es unsinnig den Begriff „unendlich“ überhaupt einzuführen, denn dieser „Wert“ wird ja nie angenommen…
Unendlich ist kein Wert, sondern ein Grenzwert und bedeutet,
dass eine Folge über alle Schranken wächst. Von daher kann man
auch unendlich durchaus als unbeschränkt auffassen.
Zum
Beispiel ist die Funktion x->x auf IR unbeschränkt, denn
sie übertrifft jeden endlichen Wert an einer Stelle. Aber der
Wert unendlich wird nicht angenommen.
In diesem Fall wäre es unsinnig den Begriff „unendlich“
überhaupt einzuführen, denn dieser „Wert“ wird ja nie
angenommen…
In der Mathematik wird sehr wohl der Körper der reellen Zahlen um den Wert unendlich (und auch minus unendlich) erweitert und eine Funktion kann dann auch den Wert unendlich annehmen. Die erweiterte Menge von Zahlen hat zwar nicht mehr alle Eigenschaften des Körpers der reellen Zahlen (zum Beispiel macht oo-oo keinen Sinn) , aber diese Erweiterung wird in der Mathematik mit Erfolg eingesetzt.
Da erscheint der Wert unendlich keineswegs nur als Grenzwert sondern als eigenständige Zahl.
Wenn ich sage, dass eine Menge unendlich viele Elemente hat, so ist das absolut kompatibel mit dem derart eingeführten Begriff unendlich. Denn undendlich bedeutet im Wesentlichen grösser zu sein als jede endliche Zahl, was in beiden Interpretationen Sinn macht.
In der Mathematik wird sehr wohl der Körper der reellen Zahlen
um den Wert unendlich (und auch minus unendlich) erweitert und
eine Funktion kann dann auch den Wert unendlich annehmen.
Hab mir schon fast gedacht, dass du jetzt dieses pathologische Beispiel an Land ziehst, wo man unendlich als „quasi-Zahl“ definiert, aber die grundlegende Definition von unendlich in der Analysis ist nunmal eben die über den Grenzwert.
Denn undendlich bedeutet im Wesentlichen
grösser zu sein als jede endliche Zahl, was in beiden
Interpretationen Sinn macht.
Eben. Und der Unterschied zwischen unendlich und unbeschränkt ist einfach der, dass Unbeschränktheit eine Eigenschaft von Mengen ist und Unendlichkeit eine Eigenschaft von Grenzwerten.
In der Mathematik wird sehr wohl der Körper der reellen Zahlen
um den Wert unendlich (und auch minus unendlich) erweitert und
eine Funktion kann dann auch den Wert unendlich annehmen.
Hab mir schon fast gedacht, dass du jetzt dieses pathologische
Beispiel an Land ziehst, wo man unendlich als „quasi-Zahl“
definiert, aber die grundlegende Definition von unendlich in
der Analysis ist nunmal eben die über den Grenzwert.
Das ist nicht pathologisch. Für jeden, der sich ernsthaft dafür interessiert, wie in der Analyis die Zahl unendlich eingeführt und verwendet wird, verweise ich auf entsprechende Bücher (Analysis I/II/III von verschiedensten Autoren).
Damit verabschiede ich mich definitiv aus dieser Diskussion.
Natürlich ist das pathologisch. Die Einführung ist doch die folgende: Man erweitert die reellen Zahlen durch die Zunahme eines neues Elements, dass man mit „oo“ bezeichnet und „unendlich“ nennt. Und dann wird die Topologie derart erweitert, dass divergente Zahlenfolgen in die „Umgebung“ dieses neuen Punktes einlaufen.
Wenn das mal nicht pathologisch ist…
Für jeden, der sich ernsthaft
dafür interessiert, wie in der Analyis die Zahl unendlich
eingeführt und verwendet wird, verweise ich auf entsprechende
Bücher (Analysis I/II/III von verschiedensten Autoren).
In den genannten Büchern wird übrigens „unendlich“ sehr wohl als Grenzwert eingeführt und nicht als Zahl, das kommt erst viel viel später.
Davon abgesehen ist dieser Kunstgriff für die Beantwortung der Ausgangsfrage auch absolut nicht notwendig.
Damit verabschiede ich mich definitiv aus dieser
Diskussion.
Bitte wenn du nicht mehr willst. Ich kann dich natürlich nicht zwingen.
auch wenn du dich verabschiedet hast, einen Kommentar kann ich mir nicht verkneifen.
In der Mathematik wird sehr wohl der Körper der reellen Zahlen
um den Wert unendlich (und auch minus unendlich) erweitert und
eine Funktion kann dann auch den Wert unendlich annehmen.
Das ist schlicht und einfach falsch (wenn auch eine gute Hilfskonstruktion). 1/0 wäre „unendlich“ - nur leider ist die entsprechende Funktion f(x) = 1/x für x=0 an dieser Stelle nicht definiert. Egal wie klein ein reeles x in dieser Funktion gewählt wird, solange es größer 0 ist hat die Funktion immer einen reellen Wert (ist also nicht unendlich!). Und warum soll ich den Körper der reelen Zahlen um ein Konstrukt erweitern, mit dem ich nachher nicht rechnen kann?
Das ist nicht pathologisch. Für jeden, der sich ernsthaft
dafür interessiert, wie in der Analyis die Zahl unendlich
eingeführt und verwendet wird, verweise ich auf entsprechende
Bücher (Analysis I/II/III von verschiedensten Autoren).
Damit verabschiede ich mich definitiv aus dieser Diskussion.
Solche Bücher kenne ich auch Ich vermute es handelt sich um Analysis für Ingenieure …
… an der Einführung von „Unendlich“ als Zahl ist aus Anschauungsgründen nichts auszusetzen. Um „Unendlich“ mathematisch einführen zu können benötigt es aber die so genannte „Non Standard Analysis“ (dort werden die reellen Zahlen ein klein wenig erweitert … … wie das genau funktioniert hab’ ich vergessen, aber es ging irgendwie um Dedekindsche Schnitte … … aber auch das ist so lange her, dass ich’s nachlesen müsste).
Natürlich ist das pathologisch. Die Einführung ist doch die
folgende: Man erweitert die reellen Zahlen durch die Zunahme
eines neues Elements, dass man mit „oo“ bezeichnet und
„unendlich“ nennt. Und dann wird die Topologie derart
erweitert, dass divergente Zahlenfolgen in die „Umgebung“
dieses neuen Punktes einlaufen.
Wenn das mal nicht pathologisch ist…
pathologisch heißt krankhaft.
ich wüsste nicht, was da so krankhaft wäre.
ich mein, das objekt „unendlich“ ist keine zahl, mit der man so wie mit zahlen rechnen kann. das sollte klar sein. (ist es hier auch allen, vielleicht mit ausnahme von stefan, der die ausgangsfrage gestellt hat, der aber nicht mathematiker im engeren sinn ist und deshalb auch gefragt hat.)
aber: so what? das objekt dient dazu, manche dinge kurz und prägnant auf den punkt zu bringen. schlecht? pathologisch? find ich nicht.
selbstverständlich birgt so ein begriff die gefahr des missverständnisses, wenn er in außermathematische zusammenhänge (z.b. optionenhandel) gerät. (darum ist es auch zu dieser diskussion gekommen.) das gilt aber für viele (wenn nicht alle) mathematischen begriffe. die mathematik nimmt sich fortwährend begriffe aus der umgangssprache und definiert sie um, indem sie sie (einigermaßen) exakt definiert. „punkt“, „gerade“, „ebene“, „kreis“, „winkel“, „filter“, „funktion“, „bild“, „unendlich“ usw. usf. … keiner pathologischer als der andere, und jeder eine potenzielle quelle von missverständnissen.
pathologisch heißt krankhaft.
ich wüsste nicht, was da so krankhaft wäre.
Ja, ich hab den Begriff eben auch noch mal nachgeschlagen und muss gestehen, dass ich mich in der Begriffswahl etwas verhauen habe…
Ich wollte eigentlich ausdrücken, dass ich es für etwas verfehlt halte, solche mathematischen Kunstgriffe anzuwenden wie die Erweiterung der Gaußschen Zahlenebene um die Zahl unendlich - was ja dann auf die Riemannsche Zahlenkugel führt - nur damit man dann in der Alltagssprache die Unendlichkeit als Zahl benutzen kann. Zumal hier die gute alte Auffassung als „über alle Schranken wachsend“ doch so schön gepasst hätte. Krankhaft ist das natürlich nicht, aber schon etwas befremdlich.
so what? das objekt dient dazu, manche dinge kurz und
prägnant auf den punkt zu bringen. schlecht? pathologisch?
find ich nicht.
auch wenn du dich verabschiedet hast, einen Kommentar kann ich
mir nicht verkneifen.
Trotz allen Vorsätzen: ich mir auch nicht.
Solche Bücher kenne ich auch Ich vermute es handelt sich
um Analysis für Ingenieure …
Analysis für Mathematiker:
z.B. H. Amann, J. Escher, Analysis I, Auflage 1998, Seite 102: Einführung der erweiterten Zahlengerade
z.B. H. Amann, J. Escher, Analysis III, Auflage 2001, Seite 69: Einführung numerischer Funktionen, d.h. Funktionen mit Werten in der erweiterten Zahlengeraden.
… an der Einführung von „Unendlich“ als Zahl ist aus
Anschauungsgründen nichts auszusetzen. Um „Unendlich“
mathematisch einführen zu können benötigt es aber die so
genannte „Non Standard Analysis“ (dort werden die reellen
Zahlen ein klein wenig erweitert … … wie das genau
funktioniert hab’ ich vergessen, aber es ging irgendwie um
Dedekindsche Schnitte … … aber auch das ist so lange her,
dass ich’s nachlesen müsste).
Zum Stichwort Dedekindschnitte: eine mögliche Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Vgl. z.B. http://mathworld.wolfram.com/DedekindCut.html oder auch h> Amann, J. Escher, Analysis I, Auflage 1998, Seite 00 ff.
In der Mathematik wird sehr wohl der Körper der reellen Zahlen
um den Wert unendlich (und auch minus unendlich) erweitert und
eine Funktion kann dann auch den Wert unendlich annehmen. Die
erweiterte Menge von Zahlen hat zwar nicht mehr alle
Eigenschaften des Körpers der reellen Zahlen (zum Beispiel
macht oo-oo keinen Sinn) , aber diese Erweiterung wird in der
Mathematik mit Erfolg eingesetzt.
Da erscheint der Wert unendlich keineswegs nur als Grenzwert
sondern als eigenständige Zahl.
Naja, eigenständige Zahl ist vielleicht etwas übertrieben. Sagen wir es mal so: die Menge der reellen Zahlen wird um die Symbole -oo und +oo erweitert damit man einiges kürzer und pregnanter darstellen kann ohne gleich unmathematisch zu werden.
Z.B. „lim a_n = oo“, statt „lim a_n existiert nicht“
oder
„lim(3 + a_n) = 3 + lim(a_n) = 3 + oo = oo“
us.w.
Dieses Symbol hat also in vieler Hinsicht auch Eigenschaften von Zahlen. Trotzdem ist es keine Zahl im eigentlichen Sinne, da es z.B. auch viele Rechenoperationen gibt, die nicht funktionieren, wie z.B. oo-oo=?, 0*oo=? oder oo/oo=? Außerdem ist das Assoziativgesetz verletzt.
Deshalb würde auch nicht so weit gehen „oo“ als eigenständige Zahl zu betrachten, es bleibt im Grunde ein Grenzwert mit dem halt nur in einigen Fällen rechnen kann als wäre es eine.
Hallo
Vorbemerkung:
Irgendwann wurde das Rad erfunden, das war neu. So dürfte eigentlich selbst der qualifizierteste Mathematiker nicht behaupten, dass es niemals grundsätzliche Änderungen in der naturwissenschaftlichen Erkenntnis geben könnte. So stellt mancher die Frage nach fundamental Neuem im dritten Jahrtausend: Die Informatik hat eine Revolution im Denken verursacht, die bisher kaum begriffen worden ist.
Wenn ich von einer unendlichen Zahl etwas abziehe, ob das Ergebnis
dann immer noch unendlich ist ?
Es ist so eine Sache mit der Unendlichkeit.
Grundsätzlich gilt: Habe ich unendlich viel von etwas, dann
kann ich eine beliebige, endliche Menge davon wegnehmen und es
bleibt unendlich.
Da würde ich die Frage nach der oberen Schranke stellen, über der natürliche Zahlen in der gewählten „Seinsumgebung“ nicht mehr genau und zuverlässig darstellbar sind. Ein billiger Taschenrechner mit 4-stelligem Display kann die Zahl „10588“ nicht mehr rechnen - mit sprachlichem Bauchweh könnte man formulieren, diese Zahl wäre relativ zum Recheninstrument „unendlich“ groß. Zieht man 10^4 davon ab, wäre man also wieder in dem erlaubten Zahlenbereich.
Übertragen auf die Situation des rechnenden Mathematikers wäre es so, dass eine Stellenzahl von 10^1000 eventuell von der Lebenswelt des Menschen nicht mehr darstellbar ist - allerdings könnte man von einer Zahl dieser Größenordnung diese Zehnerpotenz subtrahieren und käme dann mit Glück wieder auf eine darstellbare Zahl.
MfG Gerhard Kemme
Ich vermute es handelt sich um Analysis für Ingenieure …