Hallo Leute!
Ich überlege gerade an folgender Frage herum: Es ist doch höchstwahrscheinlich so, daß es bei den Nachkommastellen von pi keinen Bereich gibt, wo zb unendlich oft die Ziffer 4 erscheint. Aber warum? Gibt es eine Begründung, die der Bildungsvorschrift für pi immanent ist? Und kann man eine Wahrscheinlichkeit angeben, mit der zb die 4 zehn mal nacheinander erscheint?
Danke für Eure Antworten!
Analüt
Moin,
Ich überlege gerade an folgender Frage herum: Es ist doch
höchstwahrscheinlich so, daß es bei den Nachkommastellen von
pi keinen Bereich gibt, wo zb unendlich oft die Ziffer 4
erscheint.
Das ist sogar sicher.
Aber warum?
Sonst wäre Pi keine transzendente Zahle, kein „unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch“. Denn ab der ersten dieser Vieren wäre er periodisch - bei unendlich vielen Vieren kann nichts mehr nachkommen.
Gibt es eine Begründung, die der
Bildungsvorschrift für pi immanent ist?
Die Begründung liegt in der Natur von Pi.
Und kann man eine
Wahrscheinlichkeit angeben, mit der zb die 4 zehn mal
nacheinander erscheint?
Da kann man wahrscheinlich einfach von einer zufälligen Verteilung der Ziffern ausgehen.
Gruß
Kubi
Hossa 
Wenn man die Ziffernfolgen von Pi in Zehnerblöcke aufteilt und dann ein Null-Komma davor setzt, erhält man Zahlen zwischen 0 und 1. Aus 1415926535 wird also 0,1415926535 oder aus 8979323846 wird 0,8979323846. Wenn man diese Zahlen statistischen Tests unterzieht, stellt man fest, dass es sich um gute Zufallszahlen handelt.
Trägt man die so gewonnen Zahlen z.B. als Punkte (x1= 1-te Zahl, y1= 2-te Zahl, z1= 3-te Zahl, x2= 4-te Zahl, y2= 5-te Zahl, z2= 6-te Zahl…) in ein 3-dimensionales Koordinatensystem ein, so liegen die Abstände dieser Punkte vom Würfelmittelpunkt recht gut auf einer Gauß’schen Glockenkurve.
Es gibt jedoch Zufallszahlen-Generatoren, deren Zufallszahlen bei statistischen Tests deutlich besser abschneiden. Das lässt Raum für die Vermutung, dass die Ziffernfolge von Pi doch ein ganz kleines „bisschen“ Struktur aufweisen könnte. Trotzdem gilt Pi heute als zuverlässige Quelle für Zufallszahlen.
Ich überlege gerade an folgender Frage herum: Es ist doch
höchstwahrscheinlich so, daß es bei den Nachkommastellen von
pi keinen Bereich gibt, wo zb unendlich oft die Ziffer 4
erscheint.
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer 4 ist etwa 1/10. Für zwei Vieren hintereinander also 1/100, für drei Vieren etwa 1/1000. Bei unendlich vielen gewünschten Vieren in Folge geht diese Wahrscheinlichkeit gegen 0.
Aber warum? Gibt es eine Begründung, die der
Bildungsvorschrift für pi immanent ist?
s.o.
Und kann man eine
Wahrscheinlichkeit angeben, mit der zb die 4 zehn mal
nacheinander erscheint?
\approx10^{-10}
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo!
Das mit der Wahscheinlichkeit für n x pi leuchtet mir ein. Ich dachte bloß an die Aussage, daß die Hälfte von Unendlich immer noch Unendlich ist, und daß vielleicht nach unendlich vielen Vieren auch noch unendlich viele Fünfen kommen könnten … Da scheint aber Unendlichkeit anders zu verstehen sein?
Gruß
Analüt
Hossa
Das mit der Wahscheinlichkeit für n x pi leuchtet mir ein.
Ich dachte bloß an die Aussage, daß die Hälfte von Unendlich
immer noch Unendlich ist, und daß vielleicht nach unendlich
vielen Vieren auch noch unendlich viele Fünfen kommen könnten
… Da scheint aber Unendlichkeit anders zu verstehen sein?
Wenn nach „unendlich“ vielen Vieren eine einzige Fünf kommt, sind es ja nicht „unendlich“ viele Vieren.
Das ist ein Problem, was in ähnlicher Weise z.B. auch bei konvergenten Reihen auftritt. Die alternierende harmonische Reihe konvergiert:
\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\pm\cdots=\ln 2
Wenn ich diese Reihe nun umsortiere, in dem Sinne, dass zuerst alle positiven Glieder und danach alle negativen Glieder folgen, komme ich bildlich gesprochen bei der Berechnung niemals zu den negativen Gliedern und die Reihe divergiert:
\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\cdots=\infty
Stichwort hierzu ist „absolute Konvergenz“, falls du das genauer nachlesen möchtest.
Viele Grüße
Hasenfuß
Super erklärt, Hasenfuß, danke! Jetzt ist alles klar.
Gruß
Analüt
Verbesserung
Hallo!
Ich überlege gerade an folgender Frage herum: Es ist doch
höchstwahrscheinlich so, daß es bei den Nachkommastellen von
pi keinen Bereich gibt, wo zb unendlich oft die Ziffer 4
erscheint.Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer 4 ist etwa
1/10. Für zwei Vieren hintereinander also 1/100, für drei
Vieren etwa 1/1000. Bei unendlich vielen gewünschten Vieren in
Folge geht diese Wahrscheinlichkeit gegen 0.
Leider bist du mit deiner Antwort auf die schwammige Formulierung der UP hereingefallen. Du hast zwar recht mit den Wahrscheinlichkeiten, wenn es darum geht, ob an einer bestimmten Stelle eine Vier (bzw. zwei, drei Vieren hintereinander) auftritt, allerdings ging es der UP meines Erachtens eher darum, die W’keit dafür auszurechnen, dass überhaupt (das heißt irgendwann in den Nachkommastellen von Pi)
eine bestimmte Anzahl (z. B. n Vieren) von Vieren auftaucht. Diese W’keit beträgt natürlich (immer unter der Voraussetzung, dass die Nachkommastellen von Pi zufällig verteilt sind) für ein festes n kleiner unendlich immer eins (schnell zu beweisen mit Borell-Cantelli, bekannt auch durch den Affen an der Schreibmaschine). Der Sprung nach Unendlich funktioniert so, wie du ihn machst, allerdings nicht, da es nicht darum geht, an einer bestimmten Stelle unendlich viele Vieren zu finden, sondern irgendwann.
Aber warum? Gibt es eine Begründung, die der
Bildungsvorschrift für pi immanent ist?
Siehe Antwort von Kubi.
Und kann man eine
Wahrscheinlichkeit angeben, mit der zb die 4 zehn mal
nacheinander erscheint?
[Ich gehe immer noch davon aus, dass gemeint ist, irgendwo in den Nachkommastellen von Pi 10 sukzessive Vieren zu finden]: Ja, sie beträgt 1. (s.o.) Der Beweis dafür bedient sich allerdings höherer Mathematik, für einen äquivalenten Fall hier nachzulesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Infinite-Monkey-Theorem… . Anschaulicher vielleicht so: wenn du unendlich oft hintereinander würfelst, wirst du auf jeden Fall irgendwann einmal 10 Vieren hintereinander würfeln. Ich weiß, das ist schwer einzusehen, aber mathematisch beweisbar.
Viele Grüße,
Nadine
Hossa
Leider bist du mit deiner Antwort auf die schwammige
Formulierung der UP hereingefallen. Du hast zwar recht mit den
Wahrscheinlichkeiten, wenn es darum geht, ob an einer
bestimmten Stelle eine Vier (bzw. zwei, drei Vieren
hintereinander) auftritt, allerdings ging es der UP meines
Erachtens eher darum, die W’keit dafür auszurechnen, dass
überhaupt (das heißt irgendwann in den Nachkommastellen von
Pi eine bestimmte Anzahl (z. B. n Vieren) von Vieren auftaucht.
Ich weiß, glaub ich, was du meinst. Um am Beispiel der 10 Vieren in Folge zu bleiben ist die Wahrscheinlichkeit für ein Auftreten dieser Vierer-Folge 10-10. Da es aber unendlich viele Startpositionen für eine solche Vierer-Folge gibt, addiert sich selbst diese geringe Wahrscheinlichkeit zu 1.
Der Sprung nach Unendlich funktioniert so,
wie du ihn machst, allerdings nicht, da es nicht darum geht,
an einer bestimmten Stelle unendlich viele Vieren zu finden,
sondern irgendwann.
Wenn es irgendwann in der Ziffernfolge von Pi unendlich viele Vieren geben sollte, ergeben sich meines Erachtens zwei Probleme. Ich schreibe einfach mal meinen Gedankengang dazu auf:
-
Pi ist eine irrationale Zahl, d.h. sie endet nicht mit einer Periode.
-
Wenn es in der Ziffernfolge von Pi „irgendwann“ eine unendliche Anzahl von Vieren gibt, bedeutet das, dass es eine Position n0 gibt, ab der ich nur noch Vieren erhalte (bis in alle Ewigkeit, weil es ja unendlich viele Vieren sind).
-
Dann würde Pi aber mit einer Periode 4 enden und wäre daher nicht mehr irrational.
-
Damit Pi irrational bleibt, darf ich also die Stelle n0 nie erreichen. Die Stelle n0 muss also unerreichbar, unendlich weit hinten liegen… und ist damit nicht existent.
-
Wenn es unendlich viele Vieren in der Ziffernfolge von Pi gibt (Pi endet auf Periode 4), gibt es mit der gleichen Begründung auch unendlich viele Fünfen (Pi endet auf Periode 5), Sechsen (Pi endet auf Periode 6)… Was ist dann mit der Eindeutigkeit von Pi?
Wenn nun die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Folge von unendlich vielen Vieren gleich 1 ist, muss Pi rational und uneindeutig sein. Wo ist mein Denkfehler?
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo!
Ich weiß, glaub ich, was du meinst. Um am Beispiel der 10
Vieren in Folge zu bleiben ist die Wahrscheinlichkeit für ein
Auftreten dieser Vierer-Folge 10-10. Da es aber unendlich
viele Startpositionen für eine solche Vierer-Folge gibt,
addiert sich selbst diese geringe Wahrscheinlichkeit zu 1.
Jein. Das Prinzip hast du, denke ich, verstanden, das mit dem „addiert sich zu 1“ gefällt mir gar nicht, da addiert sich nämlich nix, sonst würden dir ja 1010 Stellen reichen, um eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu haben, irgendwo 10 Vieren zu finden. Das stimmt natürlich nicht. Da steckt ein bisschen mehr Mathe dahinter, wie gesagt, nachzulesen (u. A.) bei Wiki unter „Infinite Monkey Theorem“.
Wenn es irgendwann in der Ziffernfolge von Pi unendlich viele
Vieren geben sollte, ergeben sich meines Erachtens zwei
Probleme. Ich schreibe einfach mal meinen Gedankengang dazu
auf:
- Pi ist eine irrationale Zahl, d.h. sie endet nicht mit
einer Periode.
Richtig.
- Wenn es in der Ziffernfolge von Pi „irgendwann“ eine
unendliche Anzahl von Vieren gibt, bedeutet das, dass es eine
Position n0 gibt, ab der ich nur noch Vieren erhalte (bis in
alle Ewigkeit, weil es ja unendlich viele Vieren sind).
Auch richtig.
- Dann würde Pi aber mit einer Periode 4 enden und wäre
daher nicht mehr irrational.
Stimmt ebenfalls.
- Damit Pi irrational bleibt, darf ich also die Stelle n0
nie erreichen. Die Stelle n0 muss also unerreichbar, unendlich
weit hinten liegen… und ist damit nicht existent.
Ob sie jetzt „unendlich weit hinten liegt“ (das ist halt nicht so wirklich mathematisch…) oder nicht, es gibt sie jedenfalls nicht, auch das stimmt.
- Wenn es unendlich viele Vieren in der Ziffernfolge von Pi
gibt (Pi endet auf Periode 4), gibt es mit der gleichen
Begründung auch unendlich viele Fünfen (Pi endet auf Periode
5), Sechsen (Pi endet auf Periode 6)… Was ist dann mit der
Eindeutigkeit von Pi?
Auch hier hast du Recht.
Wenn nun die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Folge
von unendlich vielen Vieren gleich 1 ist, muss Pi rational und
uneindeutig sein. Wo ist mein Denkfehler?
DAAAA ist er Ich habe nie gesagt, die W’keit für unendlich viele Vieren sei 1. Das ist nämlich auch falsch. Was ich gesagt habe, ist, dass die W’keit, eine beliebig, aber endlich lange Folge von Vieren zu finden, egal bei welcher Länge (nur eben endlich), immer 1 ist.
Ich hatte lediglich gesagt, dass deine Begründung, warum es unendlich viele Vieren nicht geben kann (die mit "W’keit für eine Vier gleich 1/10, für zwei 1/100 usw => für unendlich viele Null) nicht funktioniert, weil es sich eben nur auf eine Stelle bezieht, und da es ja unendlich viele Stellen gibt, stündest du vor dem Problem, unendlich mal Null zu berechnen.
Die wahre Begründung hast du mit deinen jetzigen Ausführungen geliefert (und sie ist, wie gestern schon erwähnt, auch im Beitrag von Kubi zu finden).
So, du hast jedenfalls keinen Denkfehler, sondern mich nur missverstanden, ich hoffe, das beruhigt dich!
Liebe Grüße
Nadine
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Hossa Nadine
So, du hast jedenfalls keinen Denkfehler, sondern mich nur
missverstanden, ich hoffe, das beruhigt dich!
Ja, jetzt passt alles wieder zusammen…
Danke dir und viele Grüße
Hasenfuß