Hier der Beweis...

Hi Dilda,

aus dem Buch Infinitesimalrechnung von Keil, Kratz und Wörle (BSV):

1. 1 ist eine natürliche Zahl.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein Nachfolger n', der ebenfalls der natürlichen Zahlenmenge angehört.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.
4. Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind voneinander verschieden.
5. Eine Menge von natürlichen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen, wenn 1 zur Menge gehört und mit einer natürlichen Zahl n stets auch der Nachfolger n' zur Menge gehört.

So, der gebildete Pisabürger (sorry, konnt ich mir hier nicht verkneifen) hats natürlich längst gemerkt: das sind die berühmten 5 Axiome von Peano (Guiseppe Peano, 1858-1932), die die natürlichen Zahlen charakterisieren.
Eine Zahlenmenge, die diese Axiome nicht erfüllt, ist irgendwas, aber halt nicht die natürlichen Zahlen. Per Definition!

Und hier der Beweis, daß es unendlich viele davon gibt:

Zunächst folgt aus Zi. 1, daß es wenigstens eine natürliche Zahl, nämlich die Zahl 1, gibt. Diese hat nach Zi. 2 einen Nachfolger, der wegen Zi. 3 von der Zahl 1 verschieden ist, womit die Existenz von mindestens zwei natürlichen Zahlen gesichert ist. Der Nachfolger dieser 2. natürlichen Zahl kann aber weder 1 sein (Satz 3) noch diese Zahl selbst, weil wegen Zi. 4 der Nachfolger von 1 und der Nachfolger der 2. natürlichen Zahl verschiedene Zahlen sind. Folglich muß es mindestens 3 natürliche Zahlen geben. Wegen Satz 2 lassen sich für die neue Zahl dieselben Schlüsse wiederholen. Sie zeigen, daß der Nachfolger jeder neu hinzugekommenen natürlichen Zahl die schon vorhandene Zahlenmenge erweitert. Es gibt also zwar eine erste, aber keine letzte natürliche Zahl.

Und für diejenigen, die es bis hierher geschafft haben, noch die Anmerkung, daß erst das 5. Axiom die Vollständige Induktion als Beweismethode für mathematische Sätze ermöglicht.

Man beachte auch, daß man nirgends 1 "dazutun", also addieren muss, oder gar "irgendwo was wegnehmen". Die natürlichen Zahlen existieren auch ohne Rechenregeln.

Die Peano'schen Axiome sollte jeder Schüler auswendig lernen, das ist 10x sinnvoller als "Glocke", "Zauberlehrling" oder "Erlkönig" u.s.w. zusammen. Das Konzept der natürlichen Zahlen beherrscht unser tagtägliches Denken in [beliebigen Superlativ einsetzen] Ausmass.

Wo wir schon beim Auswendiglernen von mathematischen Definitionen sind: Die größe Errungenschaft der denkenden Menschheit, die größe kulturelle und intellektuelle Leistung, die je vollbracht wurde, ein Weltwunder weit größer als alle lächerlichen Bau und sogenannten Kunstwerke dieser Welt, ist der Begriffs des Grenzwertes. Die Definition des Grenzwertes auswendig zu können, sollte Voraussetzung für jedes Universitätsstudium sein.

Wenn du, lieber Dilda, die einmal die Mühe machst, zu verstehen,was ein Grenzwert ist, dann klappts auch mit dem Unendlich. Bis dahin kann ich nur sagen, daß es ein Glück für die deutschen Schüler ist, keinem derart ungebildeten Lehrer mehr ausgesetzt zu sein. Punkt.

Nichts für ungut,
Semjon,
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