Unendlichkeitsstelle beim Tangens

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Jungs und Mädels!

Ich habe mir mal die Geschichte mit den Winkelfunktionen angekuckt. Und zwar die Herleitung mit dem Einheitskreis. Mir ist jetzt aufgefallen, dass der Tangens ja von 0 bis pi/2 ins unendliche geht und zwar nach +unendlich. Wenn ich nun aber von pi/2 im Einheitskreis weitergehe, müsste doch der Tangens wieder von +unendlich kommen. Aber das Schaubild zeigt doch, dass er von –unendlich kommt. O.k. wenn ich mir die Definition vom Tangens anschaue (tan x= sin x/ cos x) ist´s mir klar, weil ja der cos x zwischen pi/2 und 3pi/2 negativ wird. Ist dann die Veranschaulichung mit dem Einheitskreis falsch? Oder mache ich in meiner Überlegung was falsch?

#2

Der Tangens beschreibt für jeden beliebigen Drehwinkel phi die Position eines Punktes auf der Kreisbahn, d.h. tan(phi)=y/x. Nähert man nun den Winkel an 90°, so geht der x-Wert gegen 0, der Tangens strebt folglich gegen +Unendlich (da 1/0.1=10, 1/0.01=100 usw.). Da nulldivision nicht definiert ist, hat er bei 90° eine Polstelle. Nach 90° strebt der x-Wert von 0 aus gegen -1, d.h. der Tangens „kommt aus dem -Unendlichen“ (analog: 1/-0.01=-100, 1/-0.1=10 …)

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#3

Der Tangens beschreibt für jeden beliebigen Drehwinkel phi die
Position eines Punktes auf der Kreisbahn, d.h. tan(phi)=y/x.
Nähert man nun den Winkel an 90°, so geht der x-Wert gegen 0,
der Tangens strebt folglich gegen +Unendlich (da 1/0.1=10,
1/0.01=100 usw.). Da nulldivision nicht definiert ist, hat er
bei 90° eine Polstelle. Nach 90° strebt der x-Wert von 0 aus
gegen -1, d.h. der Tangens „kommt aus dem -Unendlichen“

Meine Rede. Das war mir auch klar. Das erklärt aber immer noch nicht das Bild mit dem Einheitskreis. Dort „müsste“ ja der Tangens aus dem +unendlichen kommen

#4

Meine Rede. Das war mir auch klar. Das erklärt aber immer noch
nicht das Bild mit dem Einheitskreis. Dort „müsste“ ja der
Tangens aus dem +unendlichen kommen

Nein, denn die x-Werte im 2. Quadranten des Einheitskreises sind negativ und die y-Werte positiv, ergo kann bei Division nur eine negative Zahl als Ergebnis erhalten werden.

#5

Nein, denn die x-Werte im 2. Quadranten des Einheitskreises
sind negativ und die y-Werte positiv, ergo kann bei Division
nur eine negative Zahl als Ergebnis erhalten werden.

Hm… Ja, wenn man das Koordnatensystem betrachtet hast du schon recht. Aber die x-Werte beziehen sich doch auf´s Bogenmaß. Und das geht ja von 0 bis 2pi.

#6

Hm… Ja, wenn man das Koordnatensystem betrachtet hast du
schon recht. Aber die x-Werte beziehen sich doch auf´s
Bogenmaß. Und das geht ja von 0 bis 2pi.

Ich denke mal, dass dir Polarkoordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem bekannt sein dürften. Der Einheitskreis ist lediglich normiert auf 1, indem man r=1 festlegte. Der Drehwinkel Phi wird in Radiant gemessen(von 0 bis 2pi)

#7

Hallo energizer,

na, dann wollen wir einfach mal den Tangens von 95° graphisch bestimmen.

Male auf den Boden einer Turnhalle ein kartesisches Koordinatensystem (Einheit „1“ = 1 m). Zeichne den Einheitskreis ein. 95° sind 95°*pi/180° = 1.65806. Nimm eine Ameise und setze sie auf den Punkt (x = 1 m, y = 0). Sag ihr, sie soll auf der Kreislinie genau 1.65806 m in mathematisch positiver Richtung (= Uhrzeiger-entgegegesetzt) laufen. Sie tut das und stoppt eine Minute später auf dem Punkt mit den Koordinaten (x = –0.087155 m, y = 0.99619 m). Nimm die Ameise weg und zeichne eine Gerade durch den Punkt und den Koordinatenursprung. Die y-Koordinate des Schnittpunkts dieser Geraden mit der Geraden, die zur y-Achse parallel verläuft und durch x=1 geht (nein, nicht die durch x=–1, die spielt nie eine Rolle!), ist gleich tan(95°). Dieser Schnittpunkt liegt bei (x = 1, y = –11.43005).

Ergebnis also: tan(95°) = –11.43005.

Mit freundlichem Gruß
Martin

#8

Hallo energizer,

Hm… Ja, wenn man das Koordnatensystem betrachtet hast du
schon recht. Aber die x-Werte beziehen sich doch auf´s
Bogenmaß. Und das geht ja von 0 bis 2pi.

Du bringst da etwas durcheinander: Der Winkel phi ist gegeben durch den Quotienten aus Kreisbogenlänge eines Kreises um den Ursprung und dem Radius eben dieses Kreises. Da der Umfang des Kreises 2*Pi*r beträgt, entspricht dem Winkel einer „kompletten Umdrehung“ gerade 2*Pi.

Wenn nun aber der Tangens durch tan(phi)=y/x gegeben ist, so sind die Variablen x und y immer noch die Koordinaten des kartesischen Koordinatensystems.

Mit der Behauptung, x und y bezögen sich auf das Bogenmaß, hast du nicht ganz unrecht. Tatsächlich gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Winkel phi und den Koordinaten x und y:
x=r*cos(phi)
y=r*sin(phi).
r bezeichnet den Abstand des betrachteten Punkes vom Ursprung.

Und nun folgt für den Tangens:
tan(phi)=y/x=sin(phi)/cos(phi).

Bei phi=Pi/2 hat der Tangens also auch hier eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, denn der Sinus bleibt positiv auf beiden Siten, wohingegen der Cosinus von positiv nach Null und weiter nach negativ geht.

Es grüßt
Jens