Ungerade und Gerade Funktion?

Wissenschaft Physik
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Hallo,
ich habe versucht in einem Mathebuch eine Lösung für eine bestimmte Aufgabe zu finden. Da ich sie aber leider nicht lösen konnte schaute ich mir den Lösungsvorschlag an, verstand aber einige Schritte nicht. Hauptsächlich daran beteiligt war der Unterschied zwischen geraden und ungeraden Funktionen. Per Definition ist eine Ungerade Funktion ja folgendermaßen festgelegt f(-x) = -f(x) und eine gerade f(-x) = f(x). Zu beweisen war: Jede Funktion f: R -> R läßt sich als Summe von einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben. D.h. g + u = f
Bei der Überlegung in dem Buch ist:
g(x) = 1/2( f(x) + f(-x)) eine gerade Funktion und
u(x) = 1/2( f(x) - f(-x)) eine ungerade Funktion.
Ich kann zwar die Schritte des Beweises größten Teils nachvollziehen, jedoch ist es mir unklar warum eine gerade und eine ungerade Funktion „einfach so festgelegt“ werden können. Warum steht bei der ungeraden Funktion ein „-“? Ergibt sich das irgendwie aus der Def. von ungerade und gerade?

Vielen Dank für jede Antwort
Sebastian

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Hallo Sebastian,

Deine Aufgabe

„Zeigen Sie, daß man jede Funktion f(x) als Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen kann, und daß diese Zerlegung eindeutig ist.“

ist folgendermaßen zu lösen.

Wie Du schon richtig angegeben hast, hat jede gerade Funktion g(x) definitionsgemäß die Eigenschaft
g(-x) = g(x) (1).
und jede ungerade Funktion u(x) hat definitionsgemäß die Eigenschaft
u(-x) = -u(x) (2)

Die geforderte Zerlegung der Funktion f(x) lautet
f(x) = g(x) + u(x) (3)
wobei die Aufgabe darin besteht, die unbekannten Funktionen g(x) und u(x) „auszurechnen“.

Die Idee, auf die Du kommen mußt, um die Aufgabe zu lösen, ist, Dir die Frage zu stellen, wie groß der Funktionswert von f an der Stelle -x ist.
Mit (3) erhälst Du als Antwort
f(-x) = g(-x) + u(-x)
und mit (1) und (2) folgt daraus:
f(-x) = g(x) - u(x) (4)

Ich hoffe, Du weißt, daß man Gleichungen addieren und voneinander subtrahieren kann. Wenn Du Dir die rechten Seiten von (3) und (4) genau ansiehst, erkennst Du, daß Du g(x) ausrechnen kannst, wenn Du diese beiden Gleichungen addierst:
f(x) + f(-x) = g(x) + u(x) + g(x) - u(x) = 2 * g(x)

Division durch 2 liefert
g(x) = 1/2 (f(x) + f(-x))

Was das noch fehlende u(x) angeht, gebe ich Dir nur den Tip „(3)-(4)“ und überlasse den Rest Dir.

Durch diese Rechnung siehst Du, daß g(x) und u(x) nicht irgendwie „vom Himmel fallen“, sondern daß man sie ganz einfach *ausrechnen* kann und dann auch den Beweis der Eindeutigkeit des Ergebnisses automatisch erbracht hat.

Gruß
Martin