Hallo!
Bei dem Beweis der Ungleichung
x^k + y^k > (x-z)^k + (y+z)^k für 0(x+y)^k gelandet.
Kann ich diese Ungleichung jetzt mit Hilfe der Binomialreihe als wahre Aussage bezeichnen?
Denn bei _x^k + y^k für k>1 komme ich auf die Aussage
(x+y)^k > x^k + y^k, die ja nun nach Binomiallehrsatz wahr ist.
Problem ist dabei nämlich, dass die Binomialreihe im Seminar bisher noch keine Erwähnung fand.
Oder hat noch jemand eine andere Idee?
Gruß sannah_
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Hallo,
was kann denn als bekannt vorrausgesetzt werden. Komplexe Zahlen oder ist x>=z ? Ableitungen mit mehreren Veränderlichen ? Den Binomialsatz habe ich nur für ganze Potenzen in Erinnerung. Gibt es da eine erweiterte Fassung, die meinen Hirn entwichen ist ?
Gruss
Enno
Hallo,
was kann denn als bekannt vorrausgesetzt werden. Komplexe
Zahlen oder ist x>=z ?
Wir befinden uns in den reellen Zahlen und 0
wie denn das? (owt)
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Hallo,
Die allgemeine Form (für k reell) führt zur binomischen Reihe:
(1+x)^k = 1 +(k über 1)x + (k über 2)x^2 + (k über 3)x^3…
ok, ich habe gerade noch mal den Bronstein gewälzt und die Erweiterung des Binomialkoeffizienten (x über k) für reele x gefunden. Macht Sinn.
Aber wäre die Abschätzung (der andere Tipp hier lautete ja
„kürzen“, aber damit erzeugt man für 0
Hallo Sannah,
für x = y = z = 0 wird Deine Ungleichung zu 0 x,y > 0 und k aus (0,1) ist die Ungleichung
x^k + y^k > (x + y)^k
äquivalent zu:
[x / (x+y)]^k + [y / (x+y)]^k > 1, bzw. zu
a^k + b^k > 1, wobei a + b = 1 und a,b aus (0,1).
Da nun wegen _a /a^k = a^(1-k) = exp[(1 - k)ln a]
(da 1 - k > 0, ln a ) ist, folgt:
a und damit (wenn ich nichts übersehen hab’) 
a^k + b^k > a + b = 1.
Viele Grüße,
Martin
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Schon einmal ein herzliches Danke für Deine Mühen, die ja nicht selbstverständlich sind.
Gruß sannah
Noch eine kleine Ergänzung, ist mir in der Bahn eingefallen. Je nach dem, wieviel Analysis vorausgesetzt wird, ist für _0 die Ausgangsungleichung
(1) x^k + y^k > (x - z)^k + (y + z)^k
vielleicht relativ leicht direkt zu sehen. Im Grunde folgt dies aus der Konkavität der „Hoch-k“ Funktion (für 0 ):
f(u) = u^k.
Oder anders gesagt aus dem Mittelwertsatz. Der besagt, dass bei einer differenzierbaren Funktion zu jeder Sekante ein Zwischenpunkt existiert, dessen Tangente die gleiche Steigung wie die Sekante hat. Ungleichung (1) kann man umformen zu
(2) [f(x) - f(x-z)] / [x - (x - z)] > [f(y+z) - f(y)] / [(y+z) - y]
(Nummer (1) erhält man daraus, indem im Prinzip mit z multipliziert und anschließend umgestellt wird). Der Mittelwertsatz sagt nun, dass ein a zwischen x - z und x, sowie rechts davon ein b zwischen y und y + z existiert, derart dass der linke Bruch gleich f’(a) und der rechte gleich f’(b) ist. Damit ist (2) äquivalent zu
(3) f’(a) > f’(b),
wobei b > a gilt. Diese Ungleichung (und damit auch die beiden vorhergehenden) ist aber richtig, weil f’ monoton fallend ist, was man an der Ableitung der Funktion f’, also f’’, sieht:
f’’(u) = k(k - 1)u^(k-2)
Nur der Faktor (k - 1) ist negativ, die anderen sind positiv.
Grüße,
Martin_
Worüber manche Leute so in der Bahn nachdenken… Obwohl: Mir kommen auch einige gute Beweisideen immer auf einem gewissen stillen Örtchen. *g*
Danke für Deine Hilfe, die Konvexität zum Beweis von Ungleichungen ist nämlich genau das, was wir unmittelbar vorher zu behandeln hatten. Damit haben wir beim Beweis auch angesetzt, sind dann aber einen anderen Weg gegangen - wir werden uns mit Deinem Vorschlag aber noch einmal genau auseinander setzen!
Gruß und danke
Sandra
You’re welcome, gern geschehen. 
Viele Grüße,
Martin
Wir haben die Geschichte mit der Konkavität/ dem MWSD für sinnvoll erachtet und angewandt - Montag wissen wir dann, was unser Prof dazu meint. Aber eigentlich hält der uns beide für ziemlich begabt (wir Schauspieler *g*)…
Gruß sannah
(die bei Interesse noch mal informiert, was dabei rausgekommen ist, aber morgen erst einmal eine dreistündige Lin. Algebra-Klausur schreibt…)
Hallo Sandra!
Da hätte ich die Fortsetzung fast übersehen.
Wir haben die Geschichte mit der Konkavität/ dem MWSD für
sinnvoll erachtet und angewandt - Montag wissen wir dann, was
unser Prof dazu meint. Aber eigentlich hält der uns beide für
ziemlich begabt (wir Schauspieler *g*)…
Ach, irgendwie mag ich das mit der Schauspielerei nicht so ganz glauben…
Gruß sannah
(die bei Interesse noch mal informiert, was dabei rausgekommen
ist, aber morgen erst einmal eine dreistündige Lin.
Algebra-Klausur schreibt…)
Ja natürlich, sehr gerne.
LinA II, nehme ich an. Na, dann wünsche ich viel Glück (werdet ihr aber sicher nicht brauchen) und drücke beide Daumen.
Grüße,
Martin
Hallo Martin!
OK, der Prof vom Analysis-Seminar fand’s gut und hat uns einen Leistungsschein mit 1,7 in die Hand gedrückt.
Die Lin. Algebra II ist ebenfalls bestanden worden (von uns beiden, die den Vortrag hielten), das heißt, im September wartet dort die Zwischenprüfung auf mich. *seufz*
Irgendwie ist es doch mehr Schein als Sein. Oder: Sind wir nicht alle manchmal Schauspieler???
Gruß und Abschlussdanke,
sannah
Herzlichen Glückwunsch! (oT)
oT = ohne Text.