Ungleichung, e Funktion, Beweis

Wissenschaft Physik
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Hallo zusammen,

ich habe eine ungleichung

e^(x^2) - e^(y^2) y > 0

Wie kann ich nun beweisen, dass diese Ungleichung stimmt?

Ich hatte folgende Idee:

e^(x^2) - e^(y^2) nach x abgeleitet ergibt: 2*x*e^(x^2)

und

(x-y) * (x+y) * e^(x^2) ergibt: 2*x*e^(x^2)*(x^2-y^2+1)

da x>y ist die ableitung von der rechten seite größer und für x=y sind beide gleich groß…

Darf ich so argumentieren, da ich nur nach x abgeleitet habe in einer ungleichung wo x und y vorkommt?

Viele Grüße,
Oliver

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Hallo, Oliver!
Mit der Ableitung allein verfälscht man möglicherweise, wegen der Integrationskonstante, d.h. du kannst nicht von Eigenschaften der Ableitung 100% zurückschließen!.

Aber folgendes:

e^(x^2) - e^(y^2) y > 0

Es gilt ja: e^x = 1 + x + x^2/2! ++++++x^n/n! +++++, also auch:

e^(x^2) = 1 + x^2/1 + x^4/2! + x^6/3! ++++++ und
e^(y^2) = 1 + y^2/1 + y^4/2! ++++++ also ist

e^(x^2) - e^(y^2) = x^2 - y^2 + 1/2! *(x^4 - y^4) ++++=

x^2 - y^2 + 1/2!*(x^2 - y^2)*(x^2 + y^2) +++++, wegen x>y,

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Hallo,

vielen Dank für deine schnelle Antwort, aber ich glaube nicht, dass eine solch komplizierte Lösung hier nötig ist…

Ich habe links e^(x^2) eliminiert und bin auf folgende
Ungleichung gekommen:
1 + y^2 - x^2

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‚Eulersche Ungleichung‘ oder so
Hallo, Oliver,
so heißt die Ungleichung e^x > 1 + x, wenn ich mich recht erinnere, und ist also schon sehr alt.

Zu beweisen mindestens auf 2fachem Wege:

  1. e^x = lim{(1+x/n)^n} = lim{1+ n*x/n + (nüber2)*x^2/n^2 ++++}, also > 1 + x; Ich habe ja nur „noch im endlichen“ "binomisch ausmultipliziert!
  2. Reihenentwicklung (nach Tyalor) von e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! ++++, wie schon erzählt;

Deine „Eliminierung“ aber verstehe ich nicht; aber mussich ja auch nicxht, Hauptsache, du hast deinen Beweis!

tscüß, manni

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Hallo,

ich habe ja:

e^(x^2) - e^(y^2)

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Fast genial,
Lieber Oliver!
Du mußt dies, als „Beweis“ der ursprünglichen Ungleichung
e^(x^2) - e^(y^2) 1 + x für alle x gültig ist, also auch für negative.
Und 0