ich hab ein kleines Problem mit folgender Ungleichung:
|(z-3)/(z+3)|>2
z ist eine komplexe Zahl.
Um die Ungleichung zu lösen, hab ich zuerst mit z(quer)/z(quer) multipliziert und für z a+ib eingesetzt. Das Ergebnis war ein Bruch mit max. 2. Potenz. Jetzt hab ich versucht, den Betrag davon zu bilden (mit sqrt(a²+b²)), folglich kam dann ein Bruch heraus, in dem a und b bis zur 4. Potenz vorkamen und dort weiß ich dann absolut nicht weiter, wie ich nach a bzw. b umstellen soll
Ich denke mal, ich hab irgendwo eine Vereinfachung vergessen, mir fällt aber absolut nichts mehr ein, was ich machen könnte, um die hohen Potenzen wegzubekommen.
ich hab ein kleines Problem mit folgender Ungleichung:
|(z-3)/(z+3)|>2
z ist eine komplexe Zahl.
Um die Ungleichung zu lösen, hab ich zuerst mit
z(quer)/z(quer) multipliziert und für z a+ib eingesetzt.
Was bringt dir das?
Das
Ergebnis war ein Bruch mit max. 2. Potenz.
Was hat max. 2. Potenz?
[…]
Habt ihr einen Tipp, wie man die Aufgabe löst?
Ja
Zuerst einmal: ich hoffe du kennst die geometrische Bedeutung von Beträgen? Betrag von (a-b) als Abstand der komplexen Zahlen a und b.
Dann ist der Betrag von z auch noch die Wurzel aus z mal z quer.
Mehr brauchen wir nicht.
Schritt 1: quadriere beide Seiten und überleg dir, warum das *HIER* sogar eine Äquivalenzumformung ist
Vorteil: nun hast du links Beträge zum Quadrat stehen.
Schritt 2: diese Beträge zum Quadrat kannst Du nach obiger Regel als Produkt einer komplexen Zahl mit dem komplex-konjugierten schreiben.
Schritt 3: jetzt mit dem Nenner malnehmen und alles ausmultiplizieren, zusammenfassen und wieder geschickt als Produkt einer komplexen Zahl mit deren komplex-konjugiertem schreiben.
Schritt 4: das Ergebnis ablesen und geometrisch interpretieren.
Hinweis: wenn Du etwas herausbekommt in der Art alle Zahlen die von -5 Abstand kleiner als 4 haben klingt das sehr gut…
Funktionentheorie… z=a+ib
Eine Kreismenge wird gesucht (wg. Betrag). Analog wäre
|z-a|>=r
Nicht jede Ungleichung in der Beträge vorkommen muß auf einen Kreis rauslaufen.
Beispiel: |z|+|z-1| 2
-> Sqrt(z²-3²) / Sqrt(z²+3²) > 2
Autsch! Erstens bei komplexen Zahlen ist |z|=sqrt(z*z_quer) und zweitens ist (a-b)^2 nicht a^2-b^2. Außerdem steht hier eine Wurzel aus einer komplexen Zahl, die ist zuerst einmal nicht eindeutig und muß näher erklärt werden, dann ist das Ergebnis eine komplexe Zahl und für diese machen Ungleichungen keinen Sinn, nur für Beträge von komplexen Zahlen, also reelle Zahlen, ist das sinnvoll.
-> (z²-9) / (z²+9) > 4
Hier muß man sich Gedanken machen ob es eine Äquivalenzumformung ist oder nicht.
-> z²-9 > 4z²+36
Hier wird jetzt mit komplexen Ausdrücken jongliert als ob es relle wären. Erstens ist diese Gleichung wie bereits bemerkt im Allgemeinen sinnlos für komplexe Zahlen, zweitens könnte z^2+9 eine negative reelle Zahl sein, dann ergäbe die Ungleichung mit gutem Willen einen Sinn, bei der Umformung ändert sich aber die Richtung der Ungleichung.
-> -3z² > 45
-> z² > -15
-> |z| > Sqrt(15)
Und wo ist das Minuszeichen hin?
…aber mangels Übung ist das dünnes Eis…
Sorry, das ist kein dünnes Eis sondern heiße Luft…
