Hallo!
Ich habe ein vertracktes Problem mit einer Ungleichung. Ich möchte folgendes beweisen: Sei p >= 1 eine reelle Zahl. Dann gibt es ein s_0§>0 so dass:
(log log t)^(p/2) ( t^(1/p) - 1 )^p
>=
(log log s)^(p/2) ( s^(1/p) - 1 )^p
+
(log log t)^(p/2) [(t-s)^(1/p) - s^(1/p) (1 - (log log s / log log t)^(1/2))]^p
fuer alle reellen t und s mit t >= s >= s_0§.
Ein paar Bemerkungen:
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s_0§ ist eine Zahl, die von p abhaengen darf.
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Für t=s steht auf beiden Seiten Null.
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Wenn ich mir das numerisch aufplotten lasse, stimmt es. Aber beweisen kann ich es nicht. Die verschiedensten Standardungleichungen habe ich schon probiert.
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Eine Möglichkeit ist es, die Differenze der Terme als Funktion in t aufzufassen. Dann ist klar, dass fuer t=s genau der Wert Null herauskommt. Für größere t kann man dann differenzieren: Die Ableitung scheint (numerisch) auch positiv zu sein, aber das ist noch viel unübersichtlicher…
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Wenn man t von oben gegen s gehen lässt, sieht man, dass die Ungleichung nur für große s richtig sein kann. Für große t dagegen ist die Ungleichung immer richtig. Leider zeigen diese beiden Betrachtungen nicht die Ungleichung für alle t >= s.
Hat jemand vielleicht eine Idee, was man noch probieren könnte?
Danke!
Frank.