Hi, ich habe auf meinem Übungszettel bei der ich absolut keinen Ansatz finde. Da ich in meinen Unterlagen, Buch und Internet auch keinen passenden Hinweis bekommen habe, frag ich mal euch:
„Seien R1 und R2 zwei Ringe mit Einselement. Zeigen Sie, dass das Produkt R = R1 x R2 mit den Operationen
(r1,r2) + (r’1,r’2) = (r1+r’1, r2+r’2) und
(r1,r2) * (r’1,r’2) = (r1*r’1, r2*r’2)
auch ein Ring mit Einselement ist.
Ist R nullteilerfreu, wenn R1 und R2 nullteilerfrei sind? Begründen Sie Ihre Antwort!“
Falls jemand von euch eine Idee hat, wäre ich Dankbar über eine mögliche Lösung, bzw. erstmal einen Ansatz.
Liebe Grüße,
Sandra
Hi Sandra,
ich schaetze mal, dass sich das im wesentlichen durch Strukturuebertragung loesen laesst.
Beispiel Kommutativitaet: Sind beide Ringe R1, R2 kommutativ, so auch das so definierte Produkt. Rechne naemlich
(r1,r2) + (s1,s2)
= (r1+s1, r2+s2)
= (s1+r1, s2+r2)
= (s1,s2) + (r1,r2)
Der entscheidende Schritt (hier vertauschen) laueft dabei in den Ursprungsringen ab.
Nach diesem Schema lassen sich wahrscheinlich alle interessierenden Eigenschaften nachweisen.
Gruss,
klaus
Danke für die schnelle Hilfe, aber so wirklich genau weiß ich noch nicht weiter… Du meinst, das ist schon genug als Beweis? Ich komm da überhaupt nicht weiter.
Gruß, Sandra
Hallo Sandra.
Hier noch ein Beispiel: Du sollst zeigen, dass der Produktring ein Einselement
enthaelt, wenn die beiden Faktoren eine Eins haben. Wir nennen die Einsen von
R1 und R2 also E1 und E2. Dann hat das Produkt R = R1 x R2 wahrscheinlich das
Einselement E = (E1,E2). Um das zu ueberpruefen, rechnen wir mit einem
beliebigen Element r = (r1,r2) aus R wie folgt:
r * E = (r1,r2) * (E1,E2)
= (r1*E1,r2*E2)
= (r1,r2)
= r
Also ist E offenbar Einselement in R. Damit ist also klar, dass R eine Eins
hat. In der gleichen Weise kannst Du auch die anderen Eigenschaften nachweisen.
Z. B. muss ein Ring abgeschlossen sein unter beiden Verknuepfungen. Rechnen wir
also fuer die Multiplikation mit zwei beliebigen Elementen r=(r1,r2) und
s=(s1,s2) aus R wie folgt:
r*s = (r1,r2) * (s1,s2) = (r1*s1,r2*s2) in R.
Das ist offenbar ein Element von R, weil r1*s1 ein Element von R1 ist und r2*s2
ein Element von R2 ist. Wieder siehst Du, wie die Struktur uebertragen wird.
Die Multiplikation in R wird zurueckgefuehrt auf zwei Muktiplikationen in R1
und R2. Da das aber schon Ringe (und damit abgeschlossen) sind, kommen wieder
nur Elemente von R1 und R2 heraus. Damit ist das Produkt auch wieder eine
Kombination (Element von R1,Element von R2) und somit in R. Auf diese Weise
uebertraegt sich die Abgeschlossenheit von R1 und R2 auf R.
Viele Gruesse,
klaus