Guten Abend!
Ich habe ein Problem bezüglich des Verständnisses von Differentialgleichungen im speziellen an einem Beispiel, welches ich nun zeigen möchte:
Aufgabenstellung:
Löse die Differentialgleichung mittels Trennung der Variablen und ermittle die Gleichung jener Lösungskurve, die durch den Punkt P geht
So, nun lautet die Gleichung entgegen aller Beispiele im Internet:
2 * x * y’ - 3 * y = 0 | jener angegebene Punkt soll auf der Position P(1|3) liegen
Nun mein Problem: Mir ist bekannt, dass ich das 2*x vor dem y’ auf die andere Seite bringen kann, damit ich nur das y’ auf der linken Seite habe, allerdings habe ich dann auf der rechten Seite-nachdem ich nur noch das y’ auf der linken habe- 3*y / 2*x
Ebendies bereitet mir Schwierigkeiten:
Wie kann ich nun diesen Bruch Integrieren?
Soll ich y’ auf dy/dx umstellen?
Soll ich auf die Schreibweise 3*y * 2*x^-1 umstellen?
Wenn ja, wie löse ich dann das?
Fazit:
Im Grunde fehlt mir eigentlich nur das Hintergrundwissen zu den einfachen Inegrationen.
Ich hoffe mein Problem wird gut aufgenommen und verstanden, denn ich müsste relativ dringend wissen, wie ich eben solche Problemstellungen lösen kann
mfg
mrhenky
Hallo!
2 * x * y’ - 3 * y = 0 | jener angegebene Punkt soll
auf der Position P(1|3) liegen
Trennung der Variablen heißt: alles mit y nach links, alles mit x nach rechts:
2x dy/dx - 3y = 0
2x dy/dx = 3y
2dy/y = 3dx/x
(Um y = 0 und x = 0 kümmern wir uns gegebenenfalls später)
∫ 2dy/y = ∫ 3dx/x
2 ln y = 3 ln x + C
Um die Logarithmen wegzukriegen, nehmen wir noch das ganze Ding „e hoch“:
exp(2 lny) = exp(3 lnx + C)
exp(2 lny) = exp© exp (3 lnx)
y² = exp© * x³
y = K * x^(3/2)
… wobei K aus der Integrationskonstante hervorging. (Ich hoffe, ich habe richtig gerechnet).
Nun zum Rand- und Anfangswertproblem:
y (x=1) = 3 = K * x^(3/2)
⇒ K = 3
Michael
Hello again 
Danke erstmal für den Denkschubser, jetzt kommen wieder die versteckten Erinnerungen hoch 
Nur habe ich einige mir noch leicht unverständliche Sachen gefunden, die da wären:
Um die Logarithmen wegzukriegen, nehmen wir noch das ganze
Ding „e hoch“:
exp(2 lny) = exp(3 lnx + C)
//–//–// Hier müsste ich noch einmal kurz nachfragen: Kann man Exponenten nicht nur voneinander trennen, wenn diese ein Produkt bilden, oder ist es korrekt, wenn man in diesem speziellen Fall eine Summe vorfindet?
exp(2 lny) = exp© exp (3 lnx)
//–//–// Soweit ich mich erinnern kann, heben sich e und ln auf aber NUR, wenn zwischen e und ln nichts mehr steht, jetzt rechnen Sie aber weiter und nehmen dann die Variable mit der „Zwischenzahl“ als Exponenten an. Nun bin ich etwas verwirrt. Ist dieser Vorgang konform? Kann man so rechnen? Es wäre auch gut möglich, dass mir dieser Rechenschritt auch entfallen ist, deshalb frage ich lieber noch einmal nach
y² = exp© * x³
y = K * x^(3/2)
… wobei K aus der Integrationskonstante hervorging. (Ich
hoffe, ich habe richtig gerechnet).
Ich möchte mich nun erneut für die äußerst rasante Antwort danken und um Verzeihung meines Nichtverständnisses bitten.
mfg
mrhenky
Guten Morgen.
exp(2 lny) = exp(3 lnx + C)
//–//–// Hier müsste ich noch einmal kurz nachfragen: Kann
man Exponenten nicht nur voneinander trennen, wenn diese ein
Produkt bilden, oder ist es korrekt, wenn man in diesem
speziellen Fall eine Summe vorfindet?
Ein Potenzgesetz lautet:
exp(a+b) = exp(a)*exp(b)
exp(2 lny) = exp© exp (3 lnx)
//–//–// Soweit ich mich erinnern kann, heben sich e und ln
auf aber NUR, wenn zwischen e und ln nichts mehr steht, jetzt
rechnen Sie aber weiter und nehmen dann die Variable mit der
„Zwischenzahl“ als Exponenten an. Nun bin ich etwas verwirrt.
Ist dieser Vorgang konform? Kann man so rechnen? Es wäre auch
gut möglich, dass mir dieser Rechenschritt auch entfallen ist,
deshalb frage ich lieber noch einmal nach
Nach den Logarithumsgesetzen gilt:
ln(y^a) = a*ln(y)
Also kann man umformen:
exp(2*ln(y)) = exp©*exp(3*ln(x))
exp(ln(y^2)) = exp©*exp(ln(x^3))
Da ln die Umkehrfunktion von exp ist heben sie sich weg:
y^2 = exp©*x^3
Ich möchte mich nun erneut für die äußerst rasante Antwort
danken und um Verzeihung meines Nichtverständnisses bitten.
Ich freu mich wenn ich mal wieder eine Antwort liefern kann.
Liebe Grüße.
Alex
Ein Potenzgesetz lautet:
exp(a+b) = exp(a)*exp(b)
exp(2 lny) = exp© exp (3 lnx)
Danke, der Punkt war mir unklar, wusste nicht (mehr) dass man bei einem + in e ein Produkt daraus schreiben kann
Nach den Logarithumsgesetzen gilt:
ln(y^a) = a*ln(y)
Also kann man umformen:
exp(2*ln(y)) = exp©*exp(3*ln(x))
exp(ln(y^2)) = exp©*exp(ln(x^3))
Da ln die Umkehrfunktion von exp ist heben sie sich weg:
y^2 = exp©*x^3
Das mit der Umkehrfunktion wusste ich, aber die Umformung war mir unklar.
Vielen lieben dank euch allen, ihr habt mir sehr geholfen.
Danke nochmal
mfg
mrhenky