\int (4x^2+4x+1):dx
\stackrel{\ast}{=}
4\cdot \frac{1}{3} x^3 + 4 \cdot \frac{1}{2} x^2 + x
= \frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x
Beide Ergebnisse sind Stammfunktionen von (2x + 1)2, auch wenn sie nicht identisch sind. Um eine additive Konstante wie hier 1/6 dürfen sich Stammfunktionen schließlich unterscheiden.
Stellt sich jetzt natürlich die Frage, welche Gleichheitszeichen in der obigen beiden Rechnung strenggenommen nicht stimmen. Es sind die mit „*“ markierten. Jeweils links davon steht eine Menge von Funktionen, nämlich die Menge aller Stammfunktionen des Integranden, aber rechts davon jeweils nur ein Element aus dieser Menge. Dorthin darf man also eigentlich kein Gleichheitszeichen schreiben.
wenn man das unbestimmte Integral bildet muss man hinter die Stammfunktion die unbekannte Konstante c, die beim ableiten weg fällt, hinter klemmen. Dann ist es tatsächlich ein Gleichheitszeichen. Damit man nicht auf die Idee kommt es wäre das selbe c muss man in den verschiedenen Umformungen verschiedene c’s, also c1 und c2, verwenden.
ist, weil das, was die beiden Integrale bezeichnen, identisch ist. Somit ließe sich die ziemlich spezielle Aussage [*] aus einer allgemeingültigen Aussage, nämlich ∫ (2x + 1)2 dx = ∫ (4x2 +4x +1) dx folgern, und das wirft sofort die Frage nach der Bedeutung von [*] auf. Hat es eine oder keine? Wenn ja, welche? Wenn nein, warum ist es dann gerade C2 – C1 = 1/6 und nicht etwa C2 – C1 = 3/8? Wie Du siehst, ist auch die Sache mit dem „plus C“ alles andere als unproblematisch.
Eine saubere Darstellung gibt es übrigens – sie wird nur von niemandem verwendet: