vermutlich ist diese Aufgabe gar nicht so schwer, aber wir haben hierfür keinerlei Erklärung bekommen, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen…
Bestimmen Sie alle Untergebilde des folgenden algebraischen Verknüpfungsgebildes (M,°):
M: R={0,1,2,…,11} (über den Zahlen steht jeweils ein Strich)
°: Addition modulo 12
Meine Vermutung: verknüpft man dann also alle Elemente mit allen…sprich 0°1= 0+1 kongruent x (modulo 12), 1°2= 1+2 kongruent x (mod 12) und so weiter?
hi,
vermutlich ist diese Aufgabe gar nicht so schwer, aber wir
haben hierfür keinerlei Erklärung bekommen, vielleicht kann
mir jemand weiterhelfen…
„keine erklärung“!? gibts das? (ja, ich fürchte, das gibts …)
Bestimmen Sie alle Untergebilde des folgenden algebraischen
Verknüpfungsgebildes (M,°):
„untergebilde“ ist extrem vage.
M: R={0,1,2,…,11} (über den Zahlen steht jeweils ein Strich)
°: Addition modulo 12
gemeint sind vermutlich jene teilmengen, die gegenüber der algebraischen verknüpfung abgeschlossen sind.
Meine Vermutung: verknüpft man dann also alle Elemente mit
allen…sprich 0°1= 0+1 kongruent x (modulo 12), 1°2= 1+2
kongruent x (mod 12) und so weiter?
du brauchst jene teilmengen („untergebilde“), die beim (restklassen-)addieren abgeschlossen bleiben.
nehmen wir z.b. {0, 1, 2}. das ist kein algebraisches „untergebilde“, denn 2°2 = 4.
nehmen wir z.b. Z = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. das ist ein algebraisches untergebilde, denn 6°8 = 2; 8°10 = 6 usw.
die frage ist: wie schauen diese mengen aus, die in sich abgeschlossen sind? M selbst natürlich, auch {0}, dann Z vom beispiel; … und was noch?
wenn z.b. in so einem untergebilde 2 und 3 drin sind, muss auch 1 drin sein (denn 3°3°3°2°2 = 1) und dann isses ganz M.
ich sehe neben M, {0} und Z noch die untergebilde D, V und S.
hth
m.
Ich verstehe das leider überhaupt nicht 
MOD: Überflüssiges Vollzitat gelöscht.
hi,
wir haben M = {0, 1, 2, 3, …, 11} mit ° als restklassenaddition mod 12.
also z.b.:
6°8 = 2
3°9 = 0
11°11 = 10
usw.
so weit klar?
jetzt brauchst du teilmengen, die diese verknüpfung „aushalten“. wo diese verknüpfung nicht „hinausführt“.
da gibts natürlich mal M selbst und {0}.
so weit klar?
{0, 1} ist nicht geeignet; denn 1°1 = 2 und das ist ja schon draußen. (wenn so eine menge 1 enthält, dann müssen alle anderen elemente von M also auch drin sein. deshalb ist M die einzige, die 1 enthalten kann.)
meine menge Z = {0, 2, 4, 6, 8, 10} = die vielfachen von 2 ist eine abgeschlossene menge bezüglich °. du kannst da sorglos „addieren“, du fällst nie raus:
8°10 = 6
10°10 = 8
8°6 = 2
usw.
so weit klar?
auch D = {0, 3, 6, 9} ist mit der restklassenaddition mod 12 gut verträglich. du fällst nie raus:
9°9 = 6
6°6 = 0
6°9 = 3
usw.
so lange du innerhalb der vielfachen einer zahl bleibst, kann dir bei der der operation ° nix passieren …
vielleicht findest du jetzt die beiden restlichen mengen mit der eigenschaft abgeschlossenheit. es geht letztlich um die zahl 12 …
hth
m.
Ich habe eine Menge {0,4,8} gefunden…aber ich glaube nicht, dass man {0,5, 10} dazuzählen kann, weil sich bei 10°5=3 und bei 10°10=8 ergibt. Hab ich denn wenigstens mit der anderen Menge Recht?
MOD: Überflüssiges Vollzitat gelöscht.
Ich habe mich jetzt an die zweite Aufgabe alleine gewagt, die lautete:
M: R={0,1,2,…7}
°: Multiplikation modulo 8
Und meine Ergebnisse wären folgende:
Stimmt das?
MOD: Übeerflüssiges Vollzitat gelöscht.
hi,
Ich habe eine Menge {0,4,8} gefunden…
bravo; das war die menge, die ich mit V bezeichnet hatte: die vielfachen von Vier.
mit den vielfachen von 6 = {0, 6} hast du dann alle beinander. die hatte ich mit S gemeint.
es geht natürlich insgesamt um die teiler von 12. 12 wird durch 12, 1, 2, 3, 4 und 6 geteilt.
aber ich glaube nicht,
dass man {0,5, 10} dazuzählen kann, weil sich bei 10°5=3 und
bei 10°10=8 ergibt. Hab ich denn wenigstens mit der anderen
Menge Recht?
stimmt. 5 ist ja auch kein teiler von 12.
du hast mit beidem recht.
im prinzip kannst du dir eine zahl vorgeben und dann mit der restklassenaddition verfolgen, was diese zahl generiert. 1 generiert M; 2 generiert Z; 3 generiert D; 4 generiert V; 5 bzw. 7 bzw. 11 generieren wieder ganz M, denn sie generieren die 1; 6 generiert S; 8 generiert V, 9 generiert D, 10 generiert Z.
m.
hi,
Ich habe mich jetzt an die zweite Aufgabe alleine gewagt, die
lautete:
M: R={0,1,2,…7}
°: Multiplikation modulo 8
Und meine Ergebnisse wären folgende:
- M selbst
- {0}
- {0,4}
- {0,2,4,6}
Stimmt das?
die stimmen. aber es gibt noch deutlich mehr.
schau mal auf die wirkung von 1. (es wird multipliziert!)
also ich find, {0, 1} ist jetzt z.b. auch abgeschlossen… auch {1} alleine … usw. usf.
m.