Moin, Marco!
womit kann eigentlich ein über 18jähriger nachweisen, dass er
unterhaltsbedürftig ist?
Eigentlich ist es ganz einfach… 
Wenn er bei seiner Mutter wohnt und sein Vater woanders, ist
der Vater dann automatisch von seinen Verpflichtungen zu
Unterhalt befreit?
Nein, eine Befreiung von der Unterhaltspflicht generiert sich daraus nicht.
Wann besteht überhaupt Unterhaltspflicht?
Unter Verwandten 1. Grades gibt es eine ständige Unterhaltspflicht in jeder Richtung, das hatte ja auch winkel bereits erwähnt. Grundlage ist BGB § 1601.
Muss ein
rechtsgültiger Titel vorliegen, der nach dem 18. Lebensjahr
entstanden ist
Bei Unwilligkeit des Zahlungspflichtigen bleibt letzlich keine Alternative zum Titel.
oder ist der Vater per se noch
unterhaltspflichtig, wenn der Unterhaltsbedürftige nachweisen
kann, dass er bedürftig ist?
Gut erkannt 
Die Frage ist, woran erkennst Du die Bedürftigkeit. BGB § 1602 sagt nur, das derjenige unterhaltsberechtigt oder bedürftig ist, der sich nicht selbst unterhalten kann.
Grundsätzlich gilt, das ein Kind in der Erstausbildung(!) von seinen Eltern unterhalten werden muß. Bis zum Ende der Erstausbildung gelten an dieser Stelle niedrigere Selbstbehaltsgrenzen. Nach dem Ende der Erstausbildung sind erstens die Selbstbehaltsgrenzen höher und zweitens sind die Ansprüche, die an den Unterhaltsbegehrenden hinsichtlich seiner eigenen Arbeitsverpflichtung höher.
Um festzustellen, ob Du bedürftig bist, ist es zu empfehlen, sich etwa an den Sozialhilferegelsätzen zuzüglich Miete zu orientieren. Die Düsseldorfer Tabelle geht beispielsweise davon aus, das ein Volljähriges Kind in der Erstausbildung einen Monatlichen Gesamtanspruch von etwa 600€ hat. Kannst Du diesen Betrag aus eigenem Einkommen decken, dann wirst Du keine Chance haben darüberhinaus Unterhalt zu verlangen.
Wenn Du noch Fragen dazu hast, dann melde Dich einfach 
Gruß & Bye…
Der Dicke MD.