Du hast gegeben: V und W Vektorräume und U Unterraum von W.
Nun sollst Du für diejenigen Werte von V, für die gilt, dass Ihr Bild in U liegt, zeigen, dass diese Werte einen Unterraum von V aufspannen.
Daher musst Du die lineare Abbildung betrachten, für die gilt: f: V->W und hier insbesondere, was gilt, wenn es nicht nach W, sondern nach U geht (also IN den Unterraum von W „hinein“).
Also eine Teilmenge ist nicht gleich ein Unterraum ( Untervektorraum). Du musst zeigen, dass das auch ein Vektorraum ist.
Also beweise alle Bedingungen für die Elemente aus S, die S erfüllen muss um ein Vektorraum zu sein. Dabei musst du wahrscheinlich ausnutzen, dass f linear ist.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
Gruß
Du musst diesbezüglich systematisch vorgehen:
Zunächst musst du dir die Definition des Begriffs „Unterraum“ ansehen und dann formal überprüfen, ob alle Definitionen von der hier dargestellten Behauptung erfüllt werden.
Insbesondere muss man darauf eingehen, dass f eine lineare Abbildung ist. Wenn f keine lineare Abbildung wäre, so könnte es sein, dass S die leere Menge ist, oder eine Menge, die kein Nullelement enthält und somit kein Vektorraum wäre.
Ich hoffe diese Anregungen helfen dir bei deinen Überlegungen weiter.
Also, zunächst beinhaltet S nur die v \ \in \ V für die gilt f(v) \ \in \ U .
Nun wäre S ein Unterraum von V , falls S mit den Eigenschaften von V selbst einen Vektorraum darstellt.
Hierzu musst du beweisen, dass:
0 \ \in \ S
für s_1, s_2 \ \in \ S gilt s_1 + s_2 \ \in \ S
und für \lambda \ \in \ K, s \ \in \ S gilt \lambda \cdot s \ \in \ S
Hierzu kannst du auf die Linearität von f(v) zurückgreifen.