Hi, ich habe mal eine Frage zu Unterräumen:
Und zwar steht in meinem Skript, dass man Unterräume nicht nur durch Angabe einer Basis beschreiben kann, sondern auch durch ein Gleichungsystem der Form
Mat(m[Kreuz]n,K), x € K^n und Ax=0. Was ich nun nicht kapiere, ist warum das LGS Ergebnis der Gleichungen immer 0 sein muss. Können das nicht auch andere Werte sein? Wenn ich zum Beispiel an meine Schulzeit denke, haben wir Ebenen in 3D (was ja auch Unterräume im R^3 sind) mit Gleichungen der Form ax1+bx2+cx3=d, bzw ax1+bx2+cx3-d = 0 beschrieben. Wie passt das beides zusammen?
gruss,
timo
Hallo.
Leider muss ich etwas spekulieren: in der Gleichung ax1+bx2+cx3-d=0 kann d auch den Wert 0 haben. Rein algebraisch wäre das dann eine Nebenklasse oder in der Computergeometrie eine Translation einer Ebene in R^3 um den Faktor d. Allerdings ist der Fall d=0 wesentlich leichter zu berechnen. Vielleicht deswegen und vor allem, weil die Unterräume dieselbe Struktur besitzen und es weniger auf konkrete Koordinaten derselben ankommt…(=nur das Objekt interessiert, nicht dessen Position im R^3)
Ausserdem ist d=0 der homogenere (allgemeine) Fall eines LGS.
Aber wie gesagt: das ist ein bisschen spekuliert 
HTH
mfg M.L.
Hallo
ich habe mal eine Frage zu Unterräumen:
Und zwar steht in meinem Skript, dass man Unterräume nicht nur
durch Angabe einer Basis beschreiben kann, sondern auch durch
ein Gleichungsystem der Form
Mat(m[Kreuz]n,K), x € K^n und Ax=0. Was ich nun nicht kapiere,
ist warum das LGS Ergebnis der Gleichungen immer 0 sein muss.
Können das nicht auch andere Werte sein? Wenn ich zum Beispiel
an meine Schulzeit denke, haben wir Ebenen in 3D (was ja auch
Unterräume im R^3 sind) mit Gleichungen der Form
ax1+bx2+cx3=d, bzw ax1+bx2+cx3-d = 0 beschrieben. Wie passt
das beides zusammen?
Es muss tatsächlich immer Ax=0 sein, wenn der Lösungsraum ein Unterraum sein muss. In einem Unterraum muss nach Definition immer der Nullvektor x=0 drin sein und es gilt A0=0.
Das Gleichungssystem Ax=c ergibt keinen Unterraum, falls c0, sondern einen affinen Raum. Das ist grob gesagt ein Unterraum, der noch um einen Vektor geschoben wurde. Im R3 sind das zum Beispiel die Ebenen und Geraden und Punkte.
Gruss Urs
Danke für die Hilfe! Habs jetzt verstanden