Hallo, ich bins schonwieder 
Ich soll zeigen dass aus der Teilmenge W von U folg dass
U durchschnitt(V+W)=(U Durchschnitt V)+W ist.
Ich habs mit ner Wahrheitswertetabelle versucht, bin aber nicht zum Erfolg gekommen!Ich denke das kann an der neuen Definition der Summe liegen, bin aber auch nicht sicher wie ich das Problem angehen kann!
Könnte mir evtl einer von euch netten Mathematikern nen kleinen Ansatz verraten?Bitte?
Gruß
Julia
Tach,
Ich soll zeigen dass aus der Teilmenge W von U folg dass
U durchschnitt(V+W)=(U Durchschnitt V)+W ist.
Das fuer mich naheliegendste waere, einfach mal ein Element der beiden Mengen zu greifen und zu pruefen, ob das x zwangslaeufig in beiden Mengen liegt, wenn es in einer der beiden liegt. Das klappt, wenn man nicht vergisst, dass aus x aus W sofort x aus U folgt (man kann dann an einer Stelle beim Umformen der rechten Seite was kuerzen, was dann dem gleicht, was das Umformen der linken Seite ergibt).
Ich habs mit ner Wahrheitswertetabelle versucht, bin aber
nicht zum Erfolg gekommen!
So geht es natuerlich auch, aber:
ich hab da eine Vermutung: hast Du beruecksichtigt, dass x Element W impliziert x Element U? Bzw. Wenn x nicht in U dann auch nicht in W? Wenn man das in die Tabelle reinsteckt, kommt schon das richtige raus.
Wenn Du nicht weiterkommst, stell mal Deine Tabelle oder sonstigen Ansatz rein, dann kann man daran herumdoktorn 
.
Gruss
Paul
Nochma Tach,
(man kann dann an einer Stelle beim
Umformen der rechten Seite was kuerzen, was dann dem gleicht,
was das Umformen der linken Seite ergibt).
Das andere Links! (hab die Seiten gedanklich vertauscht)
Hi
Das fuer mich naheliegendste waere, einfach mal ein Element
der beiden Mengen zu greifen und zu pruefen, ob das x
zwangslaeufig in beiden Mengen liegt, wenn es in einer der
beiden liegt. Das klappt, wenn man nicht vergisst, dass aus x
aus W sofort x aus U folgt (man kann dann an einer Stelle beim
Umformen der rechten Seite was kuerzen, was dann dem gleicht,
was das Umformen der linken Seite ergibt).
Ja das ist doch aber nur auf zwei Mengen bezogen und ich hab drei!
mit zwei Mengen hätte ichs auch hingekriegt!
Das mit Wahrheitswertetabelle hab ich nich ganz verstanden!
kannst das evtl. anders erklären?
guss
julia
Das fuer mich naheliegendste waere, einfach mal ein Element
der beiden Mengen zu greifen und zu pruefen, ob das x
zwangslaeufig in beiden Mengen liegt, wenn es in einer der
beiden liegt. Das klappt, wenn man nicht vergisst, dass aus x
aus W sofort x aus U folgt (man kann dann an einer Stelle beim
Umformen der rechten Seite was kuerzen, was dann dem gleicht,
was das Umformen der linken Seite ergibt).Ja das ist doch aber nur auf zwei Mengen bezogen und ich hab
drei!
mit zwei Mengen hätte ichs auch hingekriegt!
Naja ich versuch’ es mal kurz zu skizzieren (in etwas salopper Schreibweise):
nehmen wir die linke Seite:
sei x in U geschnitten (V + W), W Teilmenge V.
Also liegt x im Schnitt beider Mengen und somit in beiden:
x in U UND x in (V + W).
Das bedeutet wiederum, dass x in V ODER W liegen muss (Achtung: kein EXOR). Nun kann man wegen der Distributivitaet die Klammern aufloesen und bekommt:
(x in U UND x in V) ODER (x in U UND x in W)
Dann nimmt man sich die rechte Seite vor:
x in (U geschnitten V) + W bedeutet ja:
(x in U UND x in V) ODER W
Damit ist man eigentlich fertig, zu zeigen, dass die linke und rechte Seiten identisch sind ist nur noch ein seeehr kleiner Schritt.
Das mit Wahrheitswertetabelle hab ich nich ganz verstanden!
Du hast doch eine gemacht? Sach ma wie . Die Tabelle tut ja nix aanderes als die obige „Rechnung“ fuer Dich zu uebernehmen, sind die Aussagen gleich, liefern auch die Tabellen ein identisches Ergebnis. Meine Vermutung geht dahingehend, dass Du W als „uanbhaengig“ in die Tabelle eingetragen hast, was sehr verlockend ist, aber nicht stimmt. Mift, ich versuch zwanghaft nicht alles zu verraten, das liest sich ja bescheuert…
Gruss
Paul
x in (V + W).
Das bedeutet wiederum, dass x in V ODER W liegen muss
Hallo Paul,
ich glaube, Du hast die Aufgabe falsch verstanden: V+W ist nicht dasselbe wie VuW (Vereinigungsmenge). x in (V+W) bedeutet, dass es v in V und w in W gibt, sodass x=v+w ist.
Die Aufgabe hat hier auch nur deshalb einen Sinn, weil U,V,W Vektorräume sind (laut Betreffzeile) und W ein Untervektorraum von U ist.
Liebe Grüße,
Immo
Hallo Julia,
obschon Du nur um einen Ansatz batst, schicke ich Dir hier mal eine vollständige Lösung, da ich das Problem als komplex einstufe, ihm mit einer „Standardmethode“ nicht beizukommen ist und ich deshalb gar nicht weiß, welchen der notwendigen Schritte ich als „Ansatz“ bezeichnen sollte.
Ich schreibe c für Teilmenge und € für Element (geht schneller zu tippen).
Fangen wir mal an. Für die Mengengleichheit zeigt man beide Teilmengenrelationen, das weißt Du sicher; also U∩(V+W)c(U∩V)+W und (U∩V)+WcU∩(V+w).
1.) Nehmen wir zunächst U∩(V+W)c(U∩V)+W. Dafür müssen wir zeigen, dass jedes Element aus U∩(V+W) auch in (U∩V)+W liegt. Sei also x€U∩(V+W). Was wissen wir dann?
x€U;
x€(V+W), d.h.
x=v+w für ein v€V und ein w€W;
WcU laut Voraussetzung.
Was wollen wir zeigen?
x=v’+w’ für ein v’€(U∩V), d.h. v’€U und v’€V, und ein w’€W.
Diese v’, w’ müssen wir also finden. Es wäre doch schön, wenn wir w’=w und v’=v wählen könnten. Mit w’=w gibt es auch keinerlei Probleme, da w’ einfach irgendein Element aus W sein soll, und w ist ein Element aus W.
Nun aber v’=v. v’ soll ja nicht nur einfach in V liegen, sondern überdies noch in U. v’€V gilt ja laut Annahme (siehe oben: Was wissen wir), aber gilt auch v’€U?
Stellen wir mal die Gleichung „Was wollen wir zeigen?“ nach v’ um, dann steht da:
v’=x-w’.
Laut Annahme ist x€U und w’=w€WcU, also w’€U. Da U aber ein Vektorraum ist, ist damit auch v’=x-w’€U, was zu zeigen war.
2.) Nun kommt die andere Teilmengenrelation dran: Wir nehmen uns ein x€(U∩V)+W und wollen zeigen, dass es auch in U∩(V+W) liegen muss. Was wissen wir?
x=v+w für ein v€U∩V, d.h. v€U und v€V, und ein w€W;
WcU.
Und was wollen wir zeigen?
x€U und
x€V+W, d.h. x=v’+w’ für v’€V und w’€W.
Die zweite Bedingung stellt kein Problem dar, denn setzen wir wieder v’=v, w’=w, sind alle Forderungen erfüllt: v liegt in V und w in W.
Zu zeigen bleibt, dass x€U ist, aber das ist auch nicht weiter schwer:
x=v+w, aber nach Voraussetzung ist v€U und w€WcU, und U ist ein Vektorraum. Also ist auch x€U und der Beweis damit fertig.
Liebe Grüße,
Immo
Tach
ich glaube, Du hast die Aufgabe falsch verstanden: V+W ist
nicht dasselbe wie VuW (Vereinigungsmenge). x in (V+W)
bedeutet, dass es v in V und w in W gibt, sodass x=v+w ist.
Die Aufgabe hat hier auch nur deshalb einen Sinn, weil U,V,W
Vektorräume sind (laut Betreffzeile) und W ein Untervektorraum
von U ist.
Naja in der Aufgabe selbst steht W Teilmenge U, wenn ich mich nicht total verlesen habe… Sei’s drum.
Gruss
Paul