hallo kolleginnen und kollegen - freunde der mathematik - kann mir jemand den begriff Topologie bzw den unterschied zu metrik erklären - ich weiß, dass ein metrischer raum immer eine topologie besitzt ein topologischer raum aber nicht umbedingt eine metrik?? das wars eigentlich scchon mit meinem wissen - danke
und schönen tag noch
martin
Hallo,
der Unterschied ist im wesentlichen (wenn ich mich recht entsinne - ist ein paar Jahre her) beim Umgebungsbegriff zu suchen. Der wird in metrischen Räumen über die Metrik definiert, in topologischen Räumen ist dies ein Grundkonzept. Jeder metrische Raum mit seinen offenen Mengen bildet eine Topologie aber nicht zu jeder Topologie findet sich eine Metrik, mit der dazu gehörige metrische Raum definiert werden könnte (evtl. kann jmd. hier mal ein Bsp. angeben - das ist mir nämlich entfallen).
Gruss
Enno
Hi Martin!
Ganz grob gesprochen: Eine Topologie ist eine Kollektion von Mengen, deren Elemente zugleich Elemente einer Grundmenge sind. Alle diese Mengen müssen offen sein und untereinander verknüpft wieder offene Mengen ergeben. Man kann sich also vorstellen, dass ein topologischer Raum zusammengesetzt ist als ganz vielen kleinen Umgebungen, die sich überschneiden (oder auch nicht), ähnlich einem pointillistischen Gemälde. Allerdings haben diese Mengen keine Beziehungen untereinander, d.h. sie besitzen keine Ordnung. Diese Ordnung (bzw. Abstand) induziert erst eine Metrik, die also besagt, wie weit ich gehen muß, um von einer Umgebung zur nächsten zu kommen. Jedem metrischen Raum muß also erst eine Topologie, also eine Menge an Untermengen zugrunde liegen, sonst könnte man ja gar keine Abstände definieren. Meine Lieblingsmetrik war immer die französische Bahnmetrik: Um von irgendwo in Frankreich irgendwo anders nach Frankreich mit der Bahn zu fahren, muß man erst über Paris (zentralistische Planung). Daher kann es zwischen zwei Punkten, die zwar euklidisch relativ dicht beieinander liegen, aber weit weg von Paris sind, in der F-Bahnmetrik zu großen Abständen kommen.
Genauere mathematische Ausführungen kannst Du von einem Physiker nicht erwarten… 
Ciao Christoph C>