Eukarya oder Eukaryoten zählen nicht zu den Bakterien. Unter diesem Begriff werden alle Lebewesen zusammengefasst, die einen sogenannten „echten Zellkern“ haben. Karyon ist griechisch und heißt „Kern“, eukaryon heißt „echter Kern“ (man schreibt das also im ‚k‘ und nicht mit ‚c‘). Demgegenüber hat man früher Lebewesen mit Zellen ohne einen solchen Zellkern gestellt, und die hatte man als Prokaryota bzw. Prokaryonten zusammengefasst. Prokaryonten werden auch als Bakterien (od. Bacteria, von griech.: bacterion = Stäbchen) bezeichnet. Sie wurden erstmals bereits von Antoni van Leeuwenhoek mit einem von ihm selbstgebauten Mikroskop im menschlichen Speichel beschrieben!
Im Ggs. zu eukaryontischen Zellen, die sich von den Algen und Pilzen bis zum Gänseblümchen und von den Schwämmen und Quallen bis zum Menschen gerne als Mehr- und Vielzeller organisieren, leben prokaryotische Zellen immer als Einzeller (die höchste Form der pseudo-mehrzelligen Organisation sind Aggregate, zB. die Fäden von Cyanobakterien).
Ganz entscheidende Unterschiede von Pro- und Eukaryoten findet man natürlich auf molekularer Ebene. Ich will hier nur Stichworte nennen: Aufbau von Zellwand und Zellmembran, Zytoskelett, Ausstattung mit bestimmten Enzymen, charakteristiche Ribosomen (das sind die „Proteinfabriken in der Zelle“ - Prokatyoten haben kleinere „70 S“- Eukaryoten größere „80 S“-Ribosomen). Grundlegende zelluläre Vorgänge wie regulation der Genaktivität, Transkription, Translation, und Replikation sowie die Zellteilung zeigen ganz charakteristische Unterschiede. Auch ist die Organisation der Genome ist in beiden Gruppen unterschiedlich. Mit den molekularbiologischen Fortschritten bei der Sequenzierung der Genome wurden auch deutliche Unterschiede in den DNA-Sequenzen zwischen Pro- und Eukaryoten deutlich. Allerdings fand man da weitere Überraschungen: Die Sequenzen einiger Bakterien wichen sehr stark sowohl von den eukaryotischen, also auch von den anderen prokaryotischen Sequenzen ab. Hinzu kam, dass diese eigenartigen Vertreter Merkmale von Eukaryoten aufwiesen (zB. Genomorganisation, Translation und Traskription), aber auch Mekrmale, die sich in keiner der anderen Gruppen fanden (zB. in Zellmembranaufbau, eigenartigen Stoffwechselwegen [„Methanogenese“] und ungewöhnlichen Coenzymen). Insbesondere aber die Unterschiede in den Sequenzen der 16S-rRNA (ein Baustein der Ribosomen), die wegen ihrer guten evolutionären Konservierung zur systematischen Einteilung der Reiche verwendet wurde, veranlasste Woese und Mitarbeiter in den späten 1970ern, neben den Pro- und Eykaryoten eine dritte Gruppe vorzugeschlagen, die Archaea oder Archaebakterien.
Um klarzustellen, dass man nun zwischen den altbekannten Bakterien und einer neuen bakeriellen Gruppe, den Archaebakterien unterscheidet, nennt man die Bakterien auch Eubakterien, also „echte Bakterien“.
Die meisten Archaebakterien-Arten findet man in extremen Habitaten (bes. in heissen Quellen und Wasser mit sehr niedrigem pH), im Faulschlamm und Rindermägen, auf glühenden Kohlehalden(!), in Salzseen.
Die Gruppen dieser grundsätzlichen Dreiteilung („Dreifaltigkeit“ 
) der Lebewesen werden übrigends als „Domänen“ bezeichnet. Es ist eine immer noch in der Diskussion stehende Alternative zur Einteilung in „Reiche“.
Grüße,
Jochen