Und das Gedankenkarusell dreht sich weiter.
Heute nun wieder mit einer neuen Frage:
Inwieweit unterscheidet sich eine Einheit Y von einer Variablen X in einem Term bzw. in einer Gleichung?
Gibt es überhaupt einen unterschied vom mathematischen Standpunkt aus gesehen? Ist eine Einheit genau das gleiche wie eine Variable? Gerechnet wird mit physikalischen Einheiten ja eigentlich genau so wie mit Variablen.
Der einzige Unterschied scheint zu sein, dass die Buchstaben für die Einheiten nicht für unbekannte Zahlen stehen, sondern eben für eine ganz bestimmte Einheit.
Ansonsten verhält sich die Einheit Y genauso wie es auch eine Variable X tun würde.
Inwieweit unterscheidet sich eine Einheit Y von einer
Variablen X in einem Term bzw. in einer Gleichung?
Du kennst doch Terme in der Mathematik der Art: 3a + 4b = …
Wenn niemand weiß, was a und b sind, kann man weiter nichts damit anfangen. Wenn man aber weiß, wie sich a und b zueinander verhalten, klappt das (unter Umständen).
Und genauso verhält es sich mit den Maßeinheiten in der Physik. Wobei eine Maßeinheit für sich natürlich erstmal sinnfrei ist.
Gruß
loderunner
Inwieweit unterscheidet sich eine Einheit Y von einer
Variablen X in einem Term bzw. in einer Gleichung?
Gibt es überhaupt einen unterschied vom mathematischen
Standpunkt aus gesehen?
Ja, den gibt es. Wenn du eine Gleichung hast mit f(x)=x, dann kannst x „laufen“ lassen. Du kannst beliebige Werte für x einsetzen.
Wenn du jetzt meinetwegen die Kraft hast mit F=m*a=x*N dann kannst du dein N (Newton) nicht einfach laufen lassen und dafür Zahlen einsetzen.
Wenn man die Kraft als Funktion (Zuordnung) sieht, dann hängt die Kraft von der Masse und der Beschleunigung ab (oder hier mein x) - und nicht von Newton, das ist totaler Unsinn…
Rechnen kannst du mit Einheiten genauso gut wie mit anderen Variablen (also addieren, multiplizieren, potenzieren…) aber es gibt da einen sehr großen Unterschied.
Ansonsten verhält sich die Einheit Y genauso wie es auch eine
Variable X tun würde.
Ich weiss nicht, was du mit verhalten meinst. Aber wie gesagt, kürzen, addieren, multiplizieren und so funktioniert mit Einheiten so, wie mit „normalen“ mathematischen Variablen.
Ich weiss nicht, was du mit verhalten meinst. Aber wie gesagt,
kürzen, addieren, multiplizieren und so funktioniert mit
Einheiten so, wie mit „normalen“ mathematischen Variablen.
Genau das meinte ich! Und ich frage mich halt:
Warum funktioniert das denn überhaupt? Warum funktioniert kürzen, addieren, subrahieren…etc mit Einheiten?
Deshalb vergleiche ich Einheiten mit Variablen, um das besser zu verstehen…
Warum funktioniert
kürzen, addieren, subrahieren…etc mit Einheiten?
Was du da fragst, ist eine philosophische Frage, nämlich warum die Naturgesetze so sind, wie sie sind.
Die Antwort auf deine unmittelbare Frage ist: man kann mit den Einheiten so rechnen, weil die entsprechenden Größen der Physik so berechnet werden, also weil es die physikalischen Gesetze gibt.
Wenn du beispielsweise eine Kraft hast, so ist dies eben die Masse des beschleunigten Körpers mal der Beschleunigung: F = m * a
Für die Kraft steht dann F = x * N, für die Masse m = y * kg und für die Beschleunigung a = z * m/s2.
Somit F = x N = y * z kg * m/s2.
Du siehst, das geht auf: N = kg * m/s2.
Warum allerdings so zu rechnen ist, warum also nicht etwa die physikalischen Gesetze anders lauten in unserem Universum, das ist eine Frage, die wohl niemand beantworten kann.
Es ist ja nicht total willkürlich - also wir bleiben beim Beispiel der Kraft. So ein Objekt hat über eine Zeit von 5 sekunden eine Geschwindigkeit von 10 m pro s, mit einer Masse von 1 kg.
Also berechnen wir mal die Kraft - Geschwindigkeit*Masse/Zeit=2 m/s^2*kg=2N?
Man könnte noch mehr rumspinnen um zu merken, dass das unsinnig ist - meinetwegen hat das Objekt eine Länge von 1m und eine Dichte von 1kg/m^3, dann ist die Länge^4*Dichte/Zeit^2=1/25 m/s^2*kg=1/25 N…
Es läuft nicht total willkürlich ab - man kann nicht einfach die richtigen Einheiten zusammenwürfeln damit das richtige rauskommt, sondern man muss die physikalischen Gesetze benutzen - hier Kraft=Beschleunigung*Masse und nicht Kraft=Geschwindigkeit*Masse/Zeit.
Hallo,
vielleicht hilft es, Dir vor Augen zu führen, dass viele Einheiten sich auf Grundeinheiten zurückführen lassen ( und sich aus ihnen e r r e c h n e n ).
1 Newton ist z. B. 1 kg*m/s/s. Das Newton ergibt sich aus einer Beschleunigung eines Körpers mit einer bestimmten Masse usw.
und:
Wenn die Größen passen, dann passen auch die Einheiten, aber nicht umgekehrt!
Und sei sicher: Die Naturwissenschaftler freuen sich auch, dass sich Naturphänomene so schön in der Sprache der Mathematik beschreiben lassen
Wie schon richtig gesagt wurde, darf eine Einheit stets immer nur einen Wert annehmen. Man sollte sich daher nicht fragen, warum Einheiten wie Variablen behandelt werden dürfen, sondern warum sie wie Konstanten behandelt werden dürfen.
Ich glaube, der Grund dafür ist ganz simpel:
In der Gleichung
π + 2π = 3π
steht π einfach für die Zahl 3,141… … oder etwa nicht? Wer sagt das? π taucht auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens auf. Ihm ist nichts passiert. Es ist also egal welchen Wert π hat, die Rechnung funktioniert so oder so. Hätten wir die Kreiszahl stattdessen mit kg abgekürzt, würde die Gleichung ebenso stimmen. Das bedeutet: Ich kann die formale Richtigkeit einer solchen Gleichung beurteilen unabhängig davon, ob ich die Bedeutung der Abkürzung π bzw. kg verstehe oder nicht. Folglich müssen Rechenregeln für alle Arten von Konstanten gelten. Eine Konstante ist etwas, was sich nicht ändert. Eine Einheit ändert sich auch nicht. Dass eine Einheit zudem auf eine physikalische Wirklichkeit verweist, kann dem Mathematiker egal sein. Lediglich der Physiker muss sich darum kümmern, dass eine Einheit stets etwas bemisst, was zählbar ist.
Das bringt mich wieder mal auf die äußerst interessante Frage, warum die physikalischen Gesetze so funktionieren, wie sie es tun.
Ich glaube, der Grund dafür ist ganz simpel:
π + 2π = 3π
Es ist
egal welchen Wert π hat, die Rechnung funktioniert so oder
so.
Es müssen Rechenregeln für alle
Arten von Konstanten gelten.
(Zitat leicht verändert)
Das funktioniert z.B.auch mit Obst: Apfel + 2 Äpfel = 3 Äpfel.
Klingt fast trivial. Also probieren wir es nochmal: π := Münzumdrehen.
Das funktioniert aber nicht immer, merken wir jetzt denn:
ABER:
Wenn ich beim Münzumdrehen implizit die Ausgangsseite mit betrachte, stimmt es nicht mehr!
Sagen wir, die Ausgangsseite sei „Zahl oben“.
Dann ist 1maliges Münzumdrehen: führt zu „Kopf oben“
Dann ist 2maliges Münzumdrehen: führt zu „Zahl oben“
Dann ist 3maliges Münzumdrehen: führt zu „Kopf oben“
Dann addieren wir ja verschiedene Objekte.
D.h.es ist nicht egal, ob wir beim Münzumdrehen den „Effekt“ „in die Ausgangsposition zurücksetzen“ verwenden oder nicht. Und das ganze nur deshalb, weil wir im Hinterkopf einmal meinen
Münzumdrehen = „die Münze umdrehen“
und das andere mal
Münzumdrehen = „die Münze von der Ausgangslage umdrehen“ !
Das finde ich etwas subtil, zumindest erkennt man daran, wie notwendig es ist, den Gegenstand der Operation genauestens zu definieren.
Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt, aber ich glaube, du verstehst schon, was ich meinte.
In einem anderen Posting habe ich geschrieben, dass Größen immer über eine Messvorschrift definiert werden, und zwar über Einheit, Gleichheit und Vielfachheit.
Wenn wir das mal mit dem Münzumdrehen nehmen:
Wenn Du die Gleichheit dadurch festmachst, ob zwei Münzen die gleiche Seite zeigen (Kopf - Kopf) oder (Zahl - Zahl), dann ist die Vielfachheit nicht mehr eindeutig. Eine Münze, die zweimal umgedreht wurde zeigt die gleiche Seite wie eine, die viermal umgedreht wurde. Daraus könnten wir die Gleichung 2 = 4 konstruieren, was natürlich Quatsch ist. Wenn Du aber „Münzumdrehen“ irgendwie anders zählbar machst (z. B. durch eine parallel geführte Strichliste), dann ergibt sich auch kein Widerspruch und „Münzumdrehen“ wird genauso zählbar.
Wir rechnen Modulo, wie bei einer Uhr - es ist 12 Uhr, in 24 Stunden ist es wieder 12 Uhr - das wäre Modolu 24 - also gilt dabei 12+24=12 - Beim Münzumdrehen Modulo 2. 2=0=4=6=2+2+2+2=2^123124
