Hallo zusammen, habe in der Uni folgende Aufgabe gestellt bekommen und eigentlich auch die passende Lösung, nur kann ich diese nicht wirklich nachvollziehen.
Vielleicht könnt ihr mir die Aufgabe ja mal ausführlich vorrechnen:
\sum_{k=1}^\infty
(\sum_{i=k}^{2k-1} (\frac{1}{2})^i)
Hoffe ihr könnt mir helfen, die Aufgabe zu lösen, beziehungsweise versteht ersteinmal überhaupt was ich meine 
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Hossa 
Dein Problem:
\sum_{k=1}^\infty\left[\sum_{i=k}^{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i\right]=\sum_{k=1}^\infty\left[\sum_{i=0}^{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i-\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i\right]=\cdots
lässt sich mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen lösen. Diese lautet:
\sum_{i=0}^nq^i=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad\mbox{falls }q\not=1
Diese wendest du auf die Summen in der eckigen Klammer an:
\cdots=\sum_{k=1}^\infty\left[\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2k}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{k}}{1-\frac{1}{2}}\right]=\sum_{k=1}^\infty\left[2-2\left(\frac{1}{2}\right)^{2k}-2+2\left(\frac{1}{2}\right)^k\right]
=\sum_{k=1}^\infty\left[2\left(\frac{1}{2}\right)^k-2\left(\frac{1}{4}\right)^k\right]=2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^k-2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\right)^k=\cdots
Mit Hilfe der obigen Summenformel für geometrische Reihen kannst du das schnell ausrechnen:
\cdots=2\cdot\underbrace{\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}-1\right)}_{=1}
-2\cdot\underbrace{\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}-1\right)}_{=1/3}=\frac{4}{3}
Das „-1“ hinter der Summenformel kommt daher, dass die Summe nicht bei 0, sondern bei 1 beginnt.
Viele Grüße
Hase
Super, die Lösung kann ich nachvollziehen, vielen Dank für die Mühe.
\sum_{k=1}^\infty\left[\sum_{i=k}^{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i\right]=\sum_{k=1}^\infty\left[\sum_{i=0}^{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i-\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i\right]=\cdots
Bei genauerer Betrachtung stellt sich mir doch noch eine Frage,
wie genau kommt der rechte Teil der obigen Gleichung zustande? Vielen Dank nochmal…
Liebe Grüße,
Target
Hossa
\sum_{k=1}^\infty\left[\sum_{i=k}^{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i\right]=\sum_{k=1}^\infty\left[\sum_{i=0}^{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i-\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i\right]=\cdots
Die erste Summe (die über k läuft) bleibt unangetastet. Die zweite Summe geht von i=k bis i=2k-1. Das ist das gleiche wie wenn ich die Summe von i=0 bis i=2k-1 laufen lasse und davon die Summe von i=0 bis i=k-1 wieder subtrahiere. In Formeln ungefähr so:
\sum_{i=k}^{2k-1}(\cdots)=\sum_{i=0}^{2k-1}(\cdots)-\sum_{i=0}^{k-1}(\cdots)
Viele Grüße
Hase