Untersuchung von Flugbahnen beim Freistoß

[mac_ll_88]

Hallo,
bei meiner Jahresarbeit in Mathe ist es meine Aufgabe die ideale Flugbahn bei Torschüssen zu untersuchen.
Berücksichtigt werden sollen hierbei noch verschiedene Ausgangssitationen und Modellannahmen wie (Torentfernung, Mauer,Winkel zum Tor,Reaktionszeiten…).

Mir fehlt noch ein wenig die Struktur in meiner Arbeit, könntet ihr mir da vielleicht weiterhelfen?
Wie würdet ihr die ideale Flugbahn berechnen/untersuchen ?
Wie berechnet man diese im 3 dimensionalen Raum?

Ich hoffe, dass mir hier ein paar schlaue Füchse:wink: weiterhelfen können…
Lieben Gruß

[michael_f7f5bc]

hi,

bei meiner Jahresarbeit in Mathe ist es meine Aufgabe die ideale
Flugbahn bei Torschüssen zu untersuchen.
Berücksichtigt werden sollen hierbei noch verschiedene
Ausgangssitationen und Modellannahmen wie (Torentfernung,
Mauer,Winkel zum Tor,Reaktionszeiten…).

Mir fehlt noch ein wenig die Struktur in meiner Arbeit,
könntet ihr mir da vielleicht weiterhelfen?
Wie würdet ihr die ideale Flugbahn berechnen/untersuchen ?
Wie berechnet man diese im 3 dimensionalen Raum?

das läuft m.e. auf eine kombination von vektor- und differenzialrechnung hinaus.

du kannst das problem in verschiedenen komplexitätsgraden behandeln. einfachstes, naivstes beispiel ist die klassische wurfparabel ohne reibung, die sichtlich nicht den realen verhältnissen entspricht.

ich würde deshalb als nächsten komplexitätsgrad eine vektorielle funktion f(t) = (x(t), y(t)) vorsehen, wobei x(t) die x-koordinate des fliegenden balls und y(t) die y-koordinate ist. die geschwindigkeit, mit der ein ball abgeschossen wird, ist der startvektor; er beinhaltet als betrag die „kraft“ des schusses und natürlich implizit auch den abschusswinkel. die y-koordinate des balls wird von der schwerkraft beeinflusst (und von der reibung), die x-koordinate v.a. von der reibung (die wiederum von windverhältnissen usw.). beide funktionen würde ich deshalb als quadratische funktionen annehmen der form
x(t) = a_xt - b_xt²
bzw.
y(t) = a_yt - b_yt² ,
wobei die linearen koeffizienten als vektor
… f’(0) = (a_x, a_y) …
die abschussgeschwindigkeit markieren und die quadratischen die störfaktoren (reibung, schwerkraft usw.)

man kann das durch eine tabellenkalkulation schön zeichnen lassen und bekommt damit zwar ebenfalls parabeln, aber realistische(re), deren achse schräg geneigt ist (statt senkrecht). du wirst feststellen, dass der ideale abschuss (-winkel und -geschwindigkeit) sehr von der größe der störfaktoren (reibung, windgeschwindigkeit) abhängt.

letztlich ist ein schuss aber ein 4D-ereignis im sinne einer zeitabhängigen kurve im raum , denn wir wissen, dass ein effet aus einer „ebenen“ schussparabel auch noch was ganz anderes machen kann. letztlich brauchst du also etwas der form
(x(t), y(t), z(t))

viel vergnügen damit; recht anspruchsvoll. kein wunder, dass menschliche fußballerInnen noch nicht durch roboter ersetzt worden sind

m.

[mac_ll_88]

hi, danke für deine hilfreiche antwort auf meinen artikel.

Ich weiß derzeit nicht, wie ich die Entfernung, den Winkel zum Tor und die Mauer berücksichtigen soll ?

Kannst du mir da vielleicht weiterhelfen?

Gruß, M:wink:

[michael_f7f5bc]

hi,

Ich weiß derzeit nicht, wie ich die Entfernung, den Winkel zum
Tor und die Mauer berücksichtigen soll ?

tja:

es gibt m.e. 2 arten, dieses pferd aufzuzäumen:

• dein ansatz = der fußballerische; ausgehend von „freistoß“, „tor“, „mauer“ etc.
• mein ansatz = der mathematisch-physikalische; ausgehend von „abschusswinkel“, „abschussgeschwindigkeit“, „windgeschwindigkeit“, „reibung“ etc.

die kunst wird sein, die beiden dinge zusammenzuführen.

beginnen würde ich physikalisch-mathematisch. lass dir doch einmal von einer tabellenkalkulation ein paar schussparabeln zeichnen für bestimmte abschuss- = startvektoren
f’(0) = (a_x, a_y).
die abschussgeschwindigkeit ist der betrag dieses vektors
= Wurzel(a_x² + a_y²)
der abschusswinkel phi ist
phi = arctan(a_y/a_x)

für die y-koordinate der kurve musst du im quadratischen anteil mindestens die erdbeschleunigung g = 9,81 m/s² ansetzen (nach der formel s=g/2*t²); die reibung / windgeschwindigkeit als quadratische größe kannst du praktisch frei wählen: du bekommst dann schussparabeln für windstille (geringe reibung), bei gegenwind (hohe reibung) oder rückenwind (sehr geringe oder sogar negative reibung). diese parabeln sehen dann schon sehr realistisch aus: der ball landet steiler als er abgeschossen wurde (was man in jedem fußballstadion immer wieder sieht).

du kannst dann genau sehen, mit welchem abschussvektor du bei welchen wind- und reibungsverhältnissen wie weit kommst. wie der abschussvektor gestaltet sein muss, dass der ball eine in 9,15 m entfernt stehende mauer der höhe 2,50 m (die können ja springen! und man kann wie ronaldinho gegen werder bremen unter der springenden mauer durchschießen!) überwindet. wie der abschussvektor gestaltet sein muss, dass der ball sich aus einer entfernung von 35 m nach am schluss genau auf der höhe von 2,44 (also auf der höhe des kreuzecks) befindet. wie der abschussvektor beschaffen sein muss, dass der ball aus 16,50 m entfernung (also von der strafraumgrenze) exakt wieder am boden auftrifft. usw. usf. dann kriegst du (glaube ich) auch entsprechende typische fußballsituationen in den mathematischen griff.

wichtig auf jeden fall als „störfaktoren“: schwerkraft in der y-richtung; reibung (abhängig mindestens von windverhältnissen und ballbeschaffenheit!) in der x-richtung.

aber wie gesagt: das ist das einfachere modell. das schwierigere berücksichtigt effet und behandelt flugbahnen nicht als parabeln, sondern als parametrisierte funktionen in 3D: f(t) = (x(t), y(t), z(t))

hth
m.

[michael_f7f5bc]

noch ne kleine ergänzung:

zeichnen für bestimmte abschuss- = startvektoren
f’(0) = (a_x, a_y).
die abschussgeschwindigkeit ist der betrag dieses vektors
= Wurzel(a_x² +
a_y²)

ich hab hier den begriff „geschwindigkeit“ umgangssprachlich (als zahl = „skalar“) verwendet (im sinne etwa des autotachos, der einfach nur km/h angibt, aber keine richtung). physikalisch-mathematisch ist geschwindigkeit immer ein vektor, kein skalar. d.h. die startgeschwindigkeit des balls beim abschuss ist math.-phys. einfach der vektor
f’(0) = (a_x, a_y)

in diesem vektor ist der betrag die umgangssprachliche geschwindigkeit (gemessen in km/h oder m/s) und
gegenkathete/ankathete = a_y/a_x = tan des abschusswinkels.

im vektor steckt beides drin.

m.