Untervektorräume

Wissenschaft Physik
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Hallo,
ich möchte beweisen, dass die Summe zweier Untervektorräume wieder einen Untervektorraum ergibt.
Mir leuchtet das Ganze nicht so ein, denn wenn ich zwei Vektoren, die aus verschiedenen UVR kommen, bilden sie wieder einen UVR. Aber wie kann das sein? Warum ist die Verknüpfung zweier UVR wieder ein UVR, wenn doch nur die Bedingung gilt, dass jeder einzelne UVR in sich abgeschlossen ist.

Ich bitte um schnelle Antwort, denn ich habe schon am Montag Prüfung! Danke Kati

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Seien U und V Unterräume von W (über einem Körper K).
Zu zeigen: U+V ist UVR von W.
Nachzuweisen ist die Abgeschlossenheit von U+V unter Addition und skalarer Multiplikation, sowie die Teilraumbeziehung U+V Teilmenge von W.

Seien x,y aus U+V und a aus K beliebig.
Dann lässt sich x=u+v und y=u’+v’ schreiben, mit u,u’ aus U und v,v’ aus V.

  1. x+y = u+v + u’+v’ = u+u’ + v+v’ in U+V, da u+u’ in U und v+v’ in V.
  2. ax = a(u+v) = au + av in U+V, da au in U und av in V.

Und x=u+v ist in W, da u und v in W (Elemente von Unterräumen) und W ein VR (unter Addition abgeschlossen) ist.

qed.

Erläuterung:
Jeder UVR ist in sich sich unter Addition und S-multiplikation abgeschlossen. Der Verknüpfungsraum führt aus ihnen heraus*, ist aber ebenfalls in sich abgeschlossen.

*(Es wird ja zu u aus U ein v nicht aus U addiert.)

Viel Erfolg bei der Prüfung.

Peace,
Kevin.

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