unverständliche Schreibweiße bei Reihen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich bin gerade dabei, mich auf die bald anstehende Matheklausur vorzubereiten. Leider tue ich mir beim berechnen der Konvergenz von Reihen ziemlich schwer.

Mein Problem liegt nun darin, dass ich den Schritt zwischen den zwei Reihen und den beiden Brüchen nicht verstehe.

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n +2^n}{3^n} = \sum\limits_{k=0}^\infty -(\frac{1}{3})^n + \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^n = \frac{1}{1+\frac{1}{3} }+ \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = \frac{15}{4}

Bis hierhin hab ich es selbst geschafft.

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n +2^n}{3^n} = \sum\limits_{k=0}^\infty -(\frac{1}{3})^n + \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^n

Eine ähnliche Aufgabe war vorher in der Aufgabenstellung, die Lösung gab das gleiche vor doch auf die gleiche Antwort kam ich mit meiner Idee, doch das geht hier nicht.

Die Aufgabe hieß:

3*\sum\limits_{k=0}^\infty (6^n-5^n) \frac{2^(n+1)}{15^(n+1)}

dort habe ich einmal 2/15 vor die Summe gezogen und dann als:

\frac{6}{15} *(\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{12}{15})^n -\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{10}{15})^n)

umgeschrieben und ohne die Summe zu beachten ausmultipliziert :smile:
dann kam ich auf:

\frac{72}{15} -\frac{60}{15} =\frac{12}{15} =\frac{4}{5}

das Ergebniss stimmt mit dem aus den Lösungen, aber ich vermute ich darf die Summen nicht einfach so weglassen.

Deshalb meine Frage, wie formt man das ganze um?

Irgendwie sieht es so aus als würde man ein:

\frac{1}{1\pm x }

davor setzen, ±x wäre in dem ersten Beispiel 1/3 also das Vorzeichen umdrehen. das würde auch auf den Rest passen, aber ist das wirklich so? Wenn ja, wie kommt man drauf, dass das das gleiche ist?

Danke schön schonmal, viele Grüße Matthias

#2

Tach,

Bis hierhin hab ich es selbst geschafft.

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n +2^n}{3^n} =
\sum\limits_{k=0}^\infty -(\frac{1}{3})^n +
\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^n

Wenn mich jetzt nicht alles taeuscht: schau Dir genau an was da steht, beide Summanden sehen aus wie geometrische Reihen.

Gruss
Paul

#3

Moin

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n +2^n}{3^n} =
\sum\limits_{k=0}^\infty -(\frac{1}{3})^n +
\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^n

Wenn mich jetzt nicht alles taeuscht: schau Dir genau an was
da steht, beide Summanden sehen aus wie geometrische Reihen.

Wenn der Laufindex ‚n‘ sein soll, dann ja. Allerdings darf man im Allgemeinen den ersten Schritt schon gar nicht machen. Die Reihe in zwei Reihen aufzuteilen geht nur, wenn man weiß, dass sie absolut-konvergiert. Ich würde es eventuell mal mit dem Wurzelkriterium probieren und zeigen, dass die linke Reihe abs.-konv. ist und dann die Reihe aufteilen. Dann hat man, wie du schon geschrieben hast, zwei geometrische Reihen da stehen und davon kennt man den Grenzwert:

\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac 1 {1-q} \textrm{mit } |q|

Gruß Sven

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#4

Mein Problem liegt nun darin, dass ich den Schritt zwischen
den zwei Reihen und den beiden Brüchen nicht verstehe.

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n +2^n}{3^n} =
\sum\limits_{k=0}^\infty -(\frac{1}{3})^n +
\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^n =
\frac{1}{1+\frac{1}{3} }+ \frac{1}{1-\frac{2}{3}} =
\frac{15}{4}

Zunächst einmal müsste dort statt k ein n stehen (oder umgekehrt). Und dann muss im mittleren Schritt das Minus in die Klammer.
Ansonsten:
Die beiden Reihen sind sogenannte geometrische Reihen. Deren Grenzwert erhält man mit den obigen Brüchen. Den Beweis dazu habt ihr bestimmt schon gemacht…

Die Aufgabe hieß:

3*\sum\limits_{k=0}^\infty (6^n-5^n) \frac{2^{(n+1)}}{15^{(n+1)}}

(Habe die Darstellung verbessert)

\frac{6}{15} *(\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{12}{15})^n
-\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{10}{15})^n)

Stimmt noch

umgeschrieben und ohne die Summe zu beachten ausmultipliziert

)

DAS geht nicht mehr :wink:
Sieh dir mal etwas zu den geometrischen Reihen an, dann dürfte die Frage geklärt sein.

mfg,
Che Netzer

#5

Hallo ihr beiden,

danke für eure schnellen Antworten, doch dass ist mir jetzt aber peinlich. Nun überlege ich schon solange daran was es mit der Schreibweiße auf sich haben könnte, dass ich an die allgemeine Schreibweiße für Geometriche Reihen nicht mehr gedacht habe.

@Attilius

Du sagtest:

Ich würde es eventuell mal mit dem Wurzelkriterium probieren und
zeigen, dass die linke Reihe abs.-konv. ist und dann die Reihe
aufteilen.

Mit dem Wurzelkriterium komme ich aber nicht weiter.

\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{(-1)^n + 2^n}{3^n})^(\frac{1}{n})

Dann kann ich aber nicht mehr weiter ausrechnen, die der exp. von der 3 im Nenner kann man noch wegkürzen, sodass man nur noch die Wurzel im Zähler stehen hat, aber um dann weiter zu rechnen muss ich doch zuerst die Summe unter der Wurzel addieren, hoffentlich habe ich nicht wieder ein schlimmer Denkfehler :frowning:

lg Matthias

#6

Mit dem Wurzelkriterium komme ich aber nicht weiter.

\left(\frac{(-1)^n +
2^n}{3^n}\right)^{(\frac{1}{n}) }

Dann kann ich aber nicht mehr weiter ausrechnen, die der exp.
von der 3 im Nenner kann man noch wegkürzen, sodass man nur
noch die Wurzel im Zähler stehen hat, aber um dann weiter zu
rechnen muss ich doch zuerst die Summe unter der Wurzel
addieren, hoffentlich habe ich nicht wieder ein schlimmer
Denkfehler :frowning:

\sqrt[n]{(-1)^n+2^n} müsste auf jeden Fall kleiner gleich 2 sein (womit das Wurzelkriterium erfüllt wäre, da 2/3

#7

Moin,

Allerdings darf man
im Allgemeinen den ersten Schritt schon gar nicht machen. Die
Reihe in zwei Reihen aufzuteilen geht nur, wenn man weiß, dass
sie absolut-konvergiert.

Das ist sicher richtig, nur war das nicht die Frage :wink:. Wenn der Kandidat behauptet, es bis dahin geschafft zu haben (Aufteilung in 2 Reihen), glaube ich ihm das erstmal.

Gruss
Paul

#8

Hallo Che,

ich habe einfach mal für n=10 eingesetzt, dann kommt 2,000195227 raus und für n=9 1,99956595. Klar den die (-1)^n kann gegen die 2^n nicht viel tun :smile: also konvergiert das ganze altanierend zu 2. Somit ist das ganze, wie du gesagt hast

#9

ich habe einfach mal für n=10 eingesetzt, dann kommt
2,000195227 raus und für n=9 1,99956595. Klar den die (-1)^n
kann gegen die 2^n nicht viel tun :smile: also konvergiert das
ganze altanierend zu 2. Somit ist das ganze, wie du gesagt
hast Fast. Eine Reihe, die einfach nur konvergiert, darf man nicht aufteilen, dazu muss sie absolut konvergieren. Aber das erhält man ja durch das Wurzelkriterium.

mfg,
Che Netzer

#10

Hossa :smile:

Deine Summen sind sog. geometrische Reihen. Sie haben allgemein die folgende Form:

S_n=\sum_{i=0}^nq^i=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n

Wenn du diese Summe mit q multiplizierst, erhälst du:

q\cdot S_n=q\sum_{i=0}^nq^i=\sum_{i=0}^nq^{i+1}=q+q^2+q^3+q^4+\cdots q^{n+1}

Wenn du nun qSn von Sn subtrahierst, heben sich fast alle Summanden gegenseitig auf. Von Sn bleibt nur q0 bzw. 1 und von qSn bleibt nur -qn+1 übrig:

S_n-qS_n=(1+q+q^2+\cdots+q^n)-(q+q^2+q^3+\cdots+q^{n+1})=1-q^{n+1}

Links kannst du Sn noch ausklammern und bekommst so eine Formel für Sn:

S_n(1-q)=1-q^{n+1}\quad\Longrightarrow\quad S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\text{wenn},q\not=1

Für q=1 würdest du durch 0 dividieren. Allerdings sieht man sofort, dass für q=1 die Summe Sn=n ergibt. Damit hast du nun die Summenformel für geometrische Reihen:

\sum_{i=0}^nq^i=\left{\begin{array}{cl}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}&\text{wenn};q\not=1\n&\text{wenn};q=1\end{array}\right.

Interessant ist nun der Grenzwert der geometrischen Reihe für |q|\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nq^i=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)=\frac{1}{1-q}\quad\text{wenn};|q|

Bis hierhin hab ich es selbst geschafft.

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n +2^n}{3^n} =
\sum\limits_{k=0}^\infty -(\frac{1}{3})^n +
\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^n

Nunja, nicht ganz. Das Minus-Zeichen gehört weiterhin in die Klammer und Laufvariable und Exponent sollten auch gleich sein:

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k +2^k}{3^k} =
\sum\limits_{k=0}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^k +
\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^k

Und das Aufspalten der unendlichen Summe in zwei unendliche Summen darfst du nur machen, wenn die Grenzwerte der beiden Summen auch existieren. Glücklicherweise sind es geometrische Reihen, so dass du die Grenzwerte nun sofort hinschreiben kannst:

\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k +2^k}{3^k}=
\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}+\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=
\frac{3}{4}+3=3,\frac{3}{4}

Viele Grüße

Hasenfuß

#11

ich habe einfach mal für n=10 eingesetzt, dann kommt
2,000195227 raus und für n=9 1,99956595. Klar den die (-1)^n
kann gegen die 2^n nicht viel tun :smile: also konvergiert das
ganze altanierend zu 2. Somit ist das ganze, wie du gesagt
hast

#12

Hallo Hasenfuß :smile:

danke für deine ausfürliche Antwort.

Das Minus-Zeichen gehört weiterhin in die Klammer und Laufvariable und Exponent sollten auch gleich sein

dass war nur ein Fehler der mir beim abschreiben passiert ist, als ich dass in Latex geschrieben (dazu nutze ich ein Online-Programm) habe, ich auf Summe geklickt und das Programm hat es eingefügt und ich habe vergessen die Laufvariable abzuändern :frowning:

Und das Aufspalten der unendlichen Summe in zwei unendliche Summen :: darfst du nur machen, wenn die Grenzwerte der beiden Summen auch :: existieren.

Hier gebe ich zu, ich habe die Reihe ohne sie auf konvergenz zu prüfen, einfach getrennt. :frowning:
Dann gab mir ja „Attilius“ den Tip zuerst mit dem wurzelkriterium zu zeigen, dass es auch eine absolut konvergente Reihe ist.

Jetzt wo du geschrieben hast dass die Summenglieder fast alle wegkürzen, fällt mir wieder ein soetwas haben wir mal in der Übung gezeigt, wir nannten dass die Teleskopsumme und nur das erste und das letzte summenglied bleiben stehen.

Leider steht der Rest nicht so ausführlich bei uns im Skript.

lg Matthias

#13

Nein natürlich nicht, das hab ich nur gemacht weil du
geschrieben hast dass der Zähler kleiner gleich zwei ist. Ich
hab mich gefragt, wieso du das einfach so sagen kannst.

Kenne ich von der Metrik bzw. Norm. Da entspricht der Zähler der „n-Norm“ von (-1,2). Und die Maximumsnorm ist der Grenzwert davon. D.h. daraus ergibt sich \sqrt[n]{(-1)^n+2^n}=|(-1,2)^T|_n\to|(-1,2)^T|_\infty=\max{1,2}=2
Mit dem „kleiner gleich“ habe ich mich dann aber doch vertan :wink:
Der Grenzwert stimmt aber trotzdem.

Aber man kann doch davon ausgehen das der Zähler wie ich
gerschrieben habe altanierend gegen 2 konvergiert, oder nicht?

Kommt darauf an, was ihr bisher so gemacht habt. Irgendein Satz wird sich schon finden, mit dem zu zeigen kannst, dass der Grenzwert 2 ist. (Ob alternierend oder nicht, ist hier egal)

mfg,
Che Netzer

#14

Danke schön an alle owt
.

#15

Hi,

doch, man darf. Wegen der Grenzwertsätze. Wenn man eine Reihe als Summe konvergenter Reihen darstellen kann, dann ist die Reihe selbst konvergent.

Das betrifft aber nur endliche Summen. Keine Umklammerungen, keine Umsortierungen.

Gruß, Lutz

PS: Weiß schreiben ist auf weißem Untergrund vergeblich.

#16

doch, man darf. Wegen der Grenzwertsätze. Wenn man eine Reihe
als Summe konvergenter Reihen darstellen kann, dann ist die
Reihe selbst konvergent.

Aber aus bloßer Konvergenz kann man noch nicht folgern, dass man die Reihe auch in zwei Hälften teilen kann. Das klappt bei \sum\tfrac{(-1)^n}n nicht.

Das betrifft aber nur endliche Summen. Keine Umklammerungen,
keine Umsortierungen.

Endliche Summen? Bei endlichen und absolut konvergenten Summen/Reihen darf doch umklammert und umsortiert werden…

mfg,
Che Netzer

#17

Nein,

wenn man sie in eine Summe zerlegen kann und die Summanden konvergieren, dann konvergiert auch die Summe. Die Zerlegung muss man natürlich erstmal finden. Aber in der Ausgangsaufgabe war die Zerlegung ja schon augenscheinlich nahegelegt.

D.h. man muss hier nicht mit dem Wurzelkriterium argumentieren.

Und sorry, gemeint waren Summen von endlich vielen Reihen. Im Gegensatz zur Problematik der Doppelreihen mit zwei laufenden Indizes.

Gruß, Lutz

#18

wenn man sie in eine Summe zerlegen kann und die Summanden
konvergieren, dann konvergiert auch die Summe. Die Zerlegung
muss man natürlich erstmal finden. Aber in der Ausgangsaufgabe
war die Zerlegung ja schon augenscheinlich nahegelegt.

Ah, jetzt habe ich verstanden, was du meintest. Das mit den Grenzwertsätzen hatte ich schön überlesen und habe nicht daran gedacht, dass du etwas über die Gleichheit der beiden Reihen und der einzelnen Reihe aussagst…

Auf die Grenzwertsätze hätte ich aber wohl auch selbst kommen können. So war ich der Meinung, dass man absolute Konvergenz braucht (obwohl die ja bei den beiden Reihen auch gegeben wäre…)

mfg,
Che Netzer