Du meinst aber vermutlich, eine Linie könnte in der wirklichen
Welt in sich selbst gekrümmt sein, obwohl die wirklich Welt
nur aus einer Dimension besteht.
Verdeutlicht wird es eher durch das umgekehrte Beispiel: die Abstände innerhalb eines Blattes Papier verändern sich nicht, wenn man das Blatt im umgebenden Raum gekrümmt hinlegt oder sogar zusammenrollt (äußere Krümmung). Ein Zylindermantel ist daher flach (keine innere Krümmung). Eine Kugeloberfläche ist gekrümmt (konstante innere Krümmung).
Ein 2-dimensionales Wesen auf diesen Flächen kann daher den Unterschied zwischen einer Kugel und einem Blatt Papier feststellen, nicht aber den zwischen einem flach liegenden Papier und einem Zylinder – abgesehen von der Periodizität des Raumes in einer Richtung.
Wie kommt man zu solcher Vermutung ? Denn mathematisch
darstellen läßt sich die Krümmung ja nur, mit zwei
Dimensionen.
Eine (differenzierbare) Mannigfaltigkeit der Dimension n wird mathematisch beschrieben durch einen Atlas aus n-dimensionalen Karten. Mathematisch ist also nie ein Raum mit höherer Dimension notwendig, allenfalls mehrere Räume gleicher Dimension (Karten). Daher kann man alle Informationen über die Erdoberfläche in einem 2-dimensionalen Buch (Atlas) ablegen.
Es gibt einen Satz (Whitney) wonach man jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit als `Fläche’ in einem 2*n-dimensionalen Raum darstellen kann (in dieser Form für n>=3 gültig). Allerdings kann man dies auf sehr unterschiedliche Weise tun ohne, dass sich innerhalb der ursprünglichen Mannigfaltigkeit irgendetwas ändert (vgl. das Beispiel mit dem Zylinder oben).
Die Annahme jedoch, die Wirklichkeit schaffe dies auch ohne
weitere Dimension, kommt mir irgendwie recht absurd vor.
Im Grunde ist doch eher die Annahme, der Welt müsse einen euklidischer Raum zu Grunde liegen, durch nichts gerechtfertigt. (Warum sollte der Umfang eines Kreises vom Radius r genau 2*\pi*r sein?)
Da in der ART von innerhalb der Raumzeit-Mannigfaltigkeit aus keinerlei Aussagen darüber gemacht werden können, ob ein Einbettungsraum existiert, und welche Form er genau hat, unterlässt es die Physik irgendwelche willkürlichen Annahmen über ihn zu machen und begnügt sich mit dem abstrakten Konzept der nicht eingebetteten Mannigfaltigkeit.
Gibt es denn Hinweise darauf, daß unsere dreidimensionale
Wirklichkeit gekrümmt sei ? (Mal abgesehen von
Einsteinskrümmungsbeweis wg. der Lichtstahlen)
Dass die einsteinsche Gravitationstheorie die Wirklichkeit sehr viel besser beschreibt, als die newtonsche (die Lichtablenkung ist da nur ein Beispiel), ist ein solcher Hinweis.
Es gibt wohl auch Hinweise aus der Hintergrundstrahlung (kenne jetzt aber nur die Meldung aus dem Spiegel und kann daher nichts über die Relevanz sagen), dass das Universum endlich ist – möglicherweise ähnlich der 3D-Verallgemeinerung eines Torus.
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PHvL