Urlaubskosten - Algebra?

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Liebe/-r Experte/-in,

ich habe ein Problem, was ich der Algebra zurechne. Sollte mich mein Gehirn in meinen Erinnerungen an mein Abitur getäuscht haben, so lassen Sie es mich bitte wissen.

Folgende Situation: 4 Freunde (A, B, C, D) machen Urlaub. Sie gehen miteinander 4 x in verschiedenen Konstellationen essen. Dabei bezahlt mal der eine, mal der andere. Beispiel:

A zahlt für A, B, C und D zusammen 60€
B zahlt für A und B zusammen 80€
C zahlt für B und C zusammen 100€
D zahlt für B, C und D zusammen 120€

Nach dem Urlaub möchten sie ausrechnen, wer wem wie viel überweisen muss, damit die Rechnung aufgeht und jeder im Verhältnis bei einer Mahlzeit gleichviel bezahlt hat.

Unnötige Überweisungen sollen vermieden werden. Ich möchte das in Excel ausrechnen und meine, da mit Matrix-Rechnung weiter zu kommen… Bin ich auf dem richtigen Weg, können Sie mir Tipps dazu geben?
Anmerkung: das echte Problem dreht sich um 10 Leute und 13 Tage Urlaub :smile: Aber ich glaube, wenn ich es an obigem Beispiel erfasst habe, dann kann ich es auch für 10 Menschen und 50 ‚Posten‘ umsetzen

Herzlichen Dank

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Lieber Marco,

wenn man auf Matrixrechnung besteht, kann man es wie folgt handhaben:

Ich ändere Dein Beispiel zur Verdeutlichung leicht ab (sonst taucht die Einheitsmatrix auf - daran kann man nichts erkennen):

\begin{equation}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Tag & A & B & C & D\
\hline
1 & 15 & X & 15 & 15\
2 & 40 & X & &\
3 & & 50 & X &\
4 & & 40 & 40 & X\
\hline
\end{tabular}
\end{equation}

  1. Tag: A, C und D müssen jeweils 15 an B zahlen.
  2. Tag: A muß ab B 40 zahlen.
    etc.

Man könnte nun wie folgt rechnen:

\begin{equation}
M :=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\
1 & 1 & 0 & 0\
0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
16 & 0 & 15 & 15\
40 & 0 & 0 & 0\
0 & 50 & 0 & 0\
0 & 40 & 40 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}

Die erste Matrix kodiert, wer wann das Essen gezahlt hat (Spalte=Tag, Zeile=Person).
Die zweite Matrix enthält die Beträge.

Im Beispiel berechnet sich M wie folgt:

\begin{equation}
M =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\
55 & 0 & 15 & 15\
0 & 50 & 0 & 0\
0 & 40 & 40 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}

D.h.: Person A (erste Spalte): 0 an A, 55 an B, 0 an C und D, usw.

Um nun überflüssige Überweisungen zu eleminieren, addiere zu M die transponierte und mit -1 multiplizierte Matrix M’ hinzu. Negative Beträge erhält die Person, positive muß sie überweisen. Beispiel:

\begin{equation}
M’ = (-1) \cdot M^T =
\begin{pmatrix}
0 & -55 & 0 & 0\
0 & 0 & -50 & -40\
0 & -15 & 0 & -40\
0 & -15 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
M + M’ =
\begin{pmatrix}
0 & -55 & 0 & 0\
55 & 0 & -35 & -25\
0 & 35 & 0 & -40\
0 & 25 & 40 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}

Mit Excel ginge es z.B. durch Anwendung von ‚summewenn(…)‘, dann muß man die Kombinationen aber per Hand ermitteln.

Viele Grüße

Christian