Hallo liebe Experten
Wie berechne ich das Volumen eines Kegelabschnittes?
NICHT Kegelstumpf!
Sondern ich schneide den Kegel parallel zur Achse quasi von oben nach unten durch. Trotz einiger Bemühungen findet sich dazu nichts gescheites in Netz (weder im „grossen“ elektronischen noch in der gleichnamigen FS)
Ich hoffe ich konnte mich verständlich machen.
Viele Grüße Ana
Liebe anathema!
Ich hoffe ich hab dich richtig verstanden, du willst einen „Kegelsektor“ bestimmen(aus der Kreislehre). Dort macht man das so, das man quasi über einen Dreisatz von der Gesamtfläche des Kreises zuerst die zu einem Grad zugehörige Fläche errechnet ( geteilt durch 360) und das dann mit dem Winkel multpliziert,den der Kreissektor hat. Ich denke das sollte mit dem Kegelabschnitt genauso gehen, heisst 1/3 mal pi mal radius (glaube ich war das ) geteilt durch in Klammern 360 mal Öffnungswinkel.
Hoffe du hast die Erklärung,so wirr sie war, verstanden, und sie konnte dir helfen…
Mit gruss Lennard
Hallo liebe Experten
Wie berechne ich das Volumen eines Kegelabschnittes?
NICHT Kegelstumpf!
Sondern ich schneide den Kegel parallel zur Achse quasi von
oben nach unten durch. Trotz einiger Bemühungen findet sich
dazu nichts gescheites in Netz (weder im „grossen“
elektronischen noch in der gleichnamigen FS)
Ich hoffe ich konnte mich verständlich machen.
Hallo Ana
Um es vorweg zu nehmen: ich kann Dir auch nicht direkt helfen. Ich habe in mehreren technischen Formelsammlungen nachgeschaut, auch in amerikanischen, dieser Spezialfall ist nirgendwo erwähnt.
Wenn Du durch die Spitze schneidest ist das Volumen die Hälfte des ganzen Kegels und wenn Du durch den Basisumfang schneidest ist das Volumen Null. Dazwischen ist das Volumen eine Funktion von s = R minus delta-r. Ich glaube man muß versuchen das Volumen über das Integral Schnittfläche mal ds zu bestimmen. Aber Achtung, beim Schnitt durch die Kegelachse hat die Fläche eine Nichtlinearität, sie wird zum Dreieck. Der Grenzwert ist bereits eine Parabelfläche. Es sei denn das Dreieck ist mathematisch ein Sonderfall der Parabel.
So würde ich vorgehen, wenn niemand mehr eine ferige Beziehung zur Hand hat.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim
Unter einem Kegel als geometrischen Körper denkt man sich gewöhnlich einen geraden Kreiskegel, d.h. einen Körper, dessen Grundfläche ein Kreis ist und dessen Spitze sich genau senkrecht über dem Kreismittelpunkt befindet. Das ist aber nur ein Sonderfall. Daneben gibt es noch die schiefen Kegel (dort iegt die Spitze nicht mehr über dem Kreismittelpunkt) sowie allgemeine Kegel, bei denen die Grundfläche nicht mehr ein Kreis ist sondern z.B. eine Ellipse oder ein Quadrat oder ein Dreieck (in den beiden letzten Fällen spricht man dann von Pyramiden). Es ist im allgemeinen Fall sogar eine beliebig geformte Grundfläche möglich, völlig unregelmäßig, die einzige Bedingung: es muß eine ebene Fläche sein. In allen Fällen aber berechnet man das Volumen nach der Regel „Volumen gleich Grundfläche mal Höhe durch drei“.
Wenn Du nun einen einen geraden Kreiskegel parallel zu seiner Höhe mit einer Ebene schneidest, ist der kleinere der beiden Teilkörper in jedem Fall wieder ein Kegel, nur hat er jetzt eben eine andere (geringere) Höhe und die Grundfläche ist auch kein Kreis mehr, sondern ein Kreissegment und die Mantelfläche besteht aus einer gekrümmten und einer ebenen Teilfläche. Für das Segment (Kreisabschnitt) findest Du sicher die Formel für den Flächeninhalt in einer guten Formelsammlung (noch besser, versuche mal, sie Dir selbst herzuleiten, ist eine schöne Übung), das Berechnen der neuen Höhe sollte eigentlich problemlos sein - für den Rest gilt dann oben angeführte Regel.
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen (und vielleicht auch meinen beiden Kollegen, die vor mir Erklärungen versucht haben).
Freundliche Grüße vom Cumulus.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Aber Achtung, beim Schnitt durch die Kegelachse hat die Fläche
eine Nichtlinearität, sie wird zum Dreieck. Der Grenzwert ist
bereits eine Parabelfläche. Es sei denn das Dreieck ist
mathematisch ein Sonderfall der Parabel.
Hallo Alexander,
mir ist nicht ganz klar wie Du schneidest. Einerseits geht es um einen Schnitt parallel zur Kegelachse. Anderseits bezeichnest Du die Schnittfläche als von einer Parabel begrenzt. Meintest Du hier Hyperbel?
Viele Grüße
Stefan
Danke Euch allen
Danke liebe Experten
besonders der „wolke“ 
Ich ahnte es aber war tatsächlich nicht mutig genug das zu glauben. Vielen Dank.
Viele Grüße Ana
Wenn Du nun einen einen geraden Kreiskegel parallel zu seiner
Höhe mit einer Ebene schneidest, ist der kleinere der beiden
Teilkörper in jedem Fall wieder ein Kegel, nur hat er jetzt
eben eine andere (geringere) Höhe und die Grundfläche ist auch
kein Kreis mehr, sondern ein Kreissegment und die Mantelfläche
besteht aus einer gekrümmten und einer ebenen Teilfläche.
Einspruch!!!
Hallo erstmal,
damit ein allgemeiner Kegel vorliegt und somit die genannte Formel für da Volumen gilt, muss jede Mantellinie (Also die Verbindung von Kegelspitze zu einem Punkt auf dem Rand der Grundfläche. Diese Mantellinie liegt auf der Oberfläche des allgemeinen Kegels) eine gerade Strecke sein. In dem Hier behandelten Fall ist das nicht Gegeben.
Eine Lösung steht also weiter aus.
Viele Grüße
Stefan
Hallo Ana,
nachdem ich nun schon diverse Antworten kritisieren musste, will ich doch noch selber einen Lösungsweg anregen.
Ich nehme an, es geht um das Volumen des kleineren abgeschnittenen Teiles. Andernfalls bildet man die Differenz zum Gesamtvolumen des Kegels.
Schneidet man den Kegelabschnitt mit einer Ebene, die Senkrecht auf der Achse des ursprünglichen Kegels steht, so ergibt sich als Schnittfläche jeweils ein Kreisabschnitt. Für diesen Kreisabschnitt gibt es Formeln für die Fläche. Die Parameter, die man in diese Formel einsetzen muss ändern sich natürlich, mit der Höhe, in der man den Kegelabschnitt waagrecht abschneidet.
Also: Die Kreisabschnittsfläche ist eine Funktion der Schnittebenenhöhe.
Das Volumen kriegt man, in dem man von unten bis oben über diese Kreisabschnittsfläche aufintegriert.
Soweit ich das abschätze, führt das zu einer Lösung, aber die Formeln werden ekelhaft.
Viele Grüße
Stefan
Nachtrag mit Formel
Soweit ich das abschätze, führt das zu einer Lösung, aber die
Formeln werden ekelhaft.
Ich muss mich korrigieren: Bis hierher ist es noch nicht so richtig ekelhaft:
V = Integral von (0) bis (h - h * r / R) über [(R^2*x^2/h^2 - 2*R^2*x/h + R^2) * arccos(r/(R-x*R/h)) - r * Wurzel(R^2*x^2/h^2 - 2*R^2*x/h + R^2 - r^2)] dx
V ist das Volumen des Kegelabschnittes
R ist der Grundkreis Radius des ursprünglichen Kegels
h ist die Höhe des ursprünglichen Kegels
r ist der Abstand von der Achse des Ursprünglichen Kegels in dem die Schnittebene zum Abschnitt des Kegelabschnittes verläuft.
Erst wenn man das Integral ausrechnet wird es richtig ekelhaft.
Nochmal Grüße
Stefan
A.B.
Einspruch!!!
damit ein allgemeiner Kegel vorliegt und somit die genannte
Formel für da Volumen gilt, muss jede Mantellinie (Also die
Verbindung von Kegelspitze zu einem Punkt auf dem Rand der
Grundfläche. Diese Mantellinie liegt auf der Oberfläche des
allgemeinen Kegels) eine gerade Strecke sein. In dem Hier
behandelten Fall ist das nicht Gegeben.
Einspruch akzeptiert! Muß meinen Lösungsvorschlag widerrufen. Der kleinere Schnittkörper ist tatsächlich kein allgemeiner Kegel, sonst müßte die Schniuttfläche ja ein Dreieck (statt einer Parabel) sein.
Bitte für diesen Irrtum (voreiligen Schluß) um Entschuldigung und werde mich ein wenig schämen.
Danke für die Richtigstellung. Cumulus
Hallo Experten
Mir scheint, da schiessen einige weit daneben! Ich habe die Frage so verstanden: Ein gerader Kreiskegel wird PARALLEL zu seiner ACHSE (von oben nach unten) geschnitten, also z.B. von der Spitze aus halbiert, oder dann werden mit wachsendem Abstand von der Mitte „hyperbolische Schnitze“ abgetrennt. Das Volumen dieser Schnitze wird mit steigendem Abstand kleiner und verschwindet schliesslich. Das ist recht schwierig zu berechnen (ich versuche es). Der Fall des Schnittes parallel zur Grundfläche ist trivial.
Erich