Hallo!
Hans hatte doch gefragt:
„Ist diese Gleichung im Komplexen lösbar:
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?“
Möglicherweise hat Hans eigentlich die „echt
positive Wurzel“ gemeint, also die Gleichung:
x+1 + |wurzelaus(2x-5)| = 3 ? ("+Betrag!")
Also wäre dann:
2-x = |wurzelaus(2x-5)|,
Ist denn DIEse Gleichungsvariante eindeutig lösbar, und wenn nicht rein reell, dann wenigstens komplex? Was meint ihr?
Liebe Grüße,
Amöbe
Also wäre dann:
2-x = |wurzelaus(2x-5)|,Ist denn DIEse Gleichungsvariante eindeutig lösbar, und wenn
nicht rein reell, dann wenigstens komplex? Was meint ihr?
Falk hat eigentlich schon die Antwort geliefert:
(*) 2-x = |wurzelaus(2x-5)| => (**) (2-x)² = 2x-5 (Implikation)
Soll heißen: Falls x eine Lösung von (*) dann auch von (**)
(**) hat als einzige Lösung x=3 (zweifache Nullstelle). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine quadratische Gleichung im Komplexen (unter der Berücksichtigung der „Vielfachheit“) genau zwei Lösungen. Die zwei Lösungen von (**) lauten x1=3 und x2=3. Mehr kann es also nicht geben.
Da die Lösungsmenge von (*) eine Teilmenge der Lösungsmenge von (**) sein muss, kommt nur L={3} oder die leere Menge in Betracht.
Die Lösungsmenge von (*) ist also auch im komplexen leer.
Gruß Frank
Hallo Frank, danke für deine Antwort.
Du schreibst:
„Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat
eine quadratische Gleichung im Komplexen
(unter der Berücksichtigung der
„Vielfachheit“) genau zwei Lösungen.“
Aber:
2-x = +|Wurzelaus(2x-5)|
ist das denn, genaugenommen, eine „echte“
„quadratische Gleichung“?
Doch erst, wenn man sie quadriert, oder?
Und durch Quadrieren erweitert man
bekanntlich die Lösungsmenge, also auch den
Charakter der Gleichung.
Exkurs: Nach dem Fundamentalsatz hat ja jede
lineare Gleichung genau eine Lösung. Gilt
dieser Satz denn auch für f(x) =|x|+1 ???
Welche`(reelle oder komplexe) Nullstelle hat
f(x)?
Mir scheint dies Problem mit der Frage der
Lösbarkeit von Hans seiner Gleichung,
zunindest in meiner Variante mit der
Nichtexistenz einer Nullstelle dieses
f(x) = |x|+1 zusammenzuhängen.
Noch kurz erwas zu „meiner“ Variante:
2-x = +|Wurzelaus(2x-5)|, also
x = 2 -|Wurzelaus(2x-5)|, also ist x reell.
Also ist auch 2x-5 reell.
Also ist auch x REIN REELL.
Und noch:
2-x = +|Wurzelaus(2x-5)| also
[2-x] -|Wurzelaus(2x-5)| = 0, also (3tbinom)
[2-x]^2 -|Wurzelaus(2x-5)|^2 = 0, also
4-4x+x^2 -(2x-5) = 0, also x=3, wie bekannt.
Aber: -1 = 2-3 = +|W[1]| ? -1 = +1 ???
Ist diese Gleichungsvariante (und ich frage
noch einmal deutlich, ob Hans nicht genau
diese gemeint hatte) wirklich lösbar?
Oder anders:
Hat f(x) = |x|+1 ÜBERHAUPT eine Lösung?
Oder müßte man dazu vielleicht die
Einführung einer neuen „imaginären Einheit“
erwägen?
Grüße,
Amöbe
„Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat
eine quadratische Gleichung im Komplexen
(unter der Berücksichtigung der
„Vielfachheit“) genau zwei Lösungen.“
Stimmt!
Aber:
2-x = +|Wurzelaus(2x-5)|
ist das denn, genaugenommen, eine „echte“
„quadratische Gleichung“?
Nein! Die allgemeine (Normal-)Form einer quadratischen Gleichung lautet:
x² + px + q = 0, wobei p,q und x auch komplex sein können. (x darf nicht unter einer Wurzel sein).
Doch erst, wenn man sie quadriert, oder?
Genau! Wurzelgleichugen stellt man so um, dass man durch Quadrieren eine quadratische Gleichung erhält (allg. eine Polynomgleichung).
Und durch Quadrieren erweitert man
bekanntlich die Lösungsmenge, also auch den
Charakter der Gleichung.
Ja! Aber das macht nichts. Üblicherweise setzt man die Elemente der Lösungsmegne in die Wurzelgleichung ein, um die tatsächliche Lösungsmenge zu ermitteln.
Exkurs: Nach dem Fundamentalsatz hat ja jede
lineare Gleichung genau eine Lösung.
Ja! Wobei eine linearer Gleichung die Form ax+b=0 hat (a,b,x ∈ komplexer Zahlen)
Gilt
dieser Satz denn auch für f(x) =|x|+1 ???
Nein! Diese Funktion ist weder auf ihren ganzen Definitionsbereich
ein Polynom noch „linear“ (sondern nur stückweise).
Welche`(reelle oder komplexe) Nullstelle hat
f(x)?
Keine!! Das Problem ist, das der Betrag so definiert ist, das er immer eine positive reelle Zahl ≥ 0 liefert. Dies gilt für alle Körper, in denen eine Metrik definiert ist. Also egal ob reell, komplex (oder irgendwas anderes).
D.h., f(x) = |x|+1 ∈ IR und f(x) > 0
Noch kurz erwas zu „meiner“ Variante:
2-x = +|Wurzelaus(2x-5)|, also
x = 2 -|Wurzelaus(2x-5)|, also ist x reell.
Also ist auch 2x-5 reell.
Also ist auch x REIN REELL.
Ja, falls es eine Lösung gibt, muss x reell sein.
Und noch:
2-x = +|Wurzelaus(2x-5)| also
[2-x] -|Wurzelaus(2x-5)| = 0, also (3tbinom)
[2-x]^2 -|Wurzelaus(2x-5)|^2 = 0, also
4-4x+x^2 -(2x-5) = 0, also x=3, wie bekannt.
Das ist nichts anderes als gewöhnliches Quadrieren. Die Lösungsmenge wird erweitert.
Aber: -1 = 2-3 = +|W[1]| ? -1 = +1 ???
Die Probe belegt, dass x=3 keine Nullstelle (Lösung) von f(x) ist.
Hat f(x) = |x|+1 ÜBERHAUPT eine Lösung?
Oder müßte man dazu vielleicht die
Einführung einer neuen „imaginären Einheit“
erwägen?
Habe ich oben schon erwähnt. f(x) hat keine Nullstelle. Und das ist völlig unabhängig vom Zahlenbereich oder neuen „imaginären Einheiten“. Es gilt definitionsgemäß immer:
|x| ≥ 0 und |x| ∈ IR.
Gruß Frank
Hallo Frank! Danke für deinen erneuten Versuch, mich zu überzeugen!
Bin ich vielleicht zu „erfinderisch“ für seriöse" Mathematik?
Hat f(x) = |x|+1 ÜBERHAUPT eine Lösung?
Oder müßte man dazu vielleicht die
Einführung einer neuen „imaginären Einheit“
erwägen?Habe ich oben schon erwähnt. f(x) hat keine Nullstelle.
Und das ist völlig unabhängig vom Zahlenbereich oder neuen
„imaginären Einheiten“. Es gilt definitionsgemäß immer:|x| ≥ 0 und |x| ∈ IR.
Das Problem ist, das der Betrag so definiert ist, das er immer eine
ositive reelle Zahl ≥ 0 liefert. Dies gilt für alle Körper, in denen :eine Metrik definiert ist. Also egal ob reell, komplex (oder :irgendwas anderes).
Galt „früher“, vor Cardano und Euler (?) nicht auch:
x^2 + 1 hat keine Nullstelle, Und das ist völlig unabhängig vom
Zahlenbereich…!" ??
Grüße,
Amöbe
Hallo Frank! Danke für deinen erneuten Versuch, mich zu
überzeugen!
Bin ich vielleicht zu „erfinderisch“ für seriöse" Mathematik?
Ja, vielleicht 
Galt „früher“, vor Cardano und Euler (?) nicht auch:
x^2 + 1 hat keine Nullstelle, Und das ist völlig unabhängig
vom Zahlenbereich…!" ??
Im Prinzip ja, aber man kannte nur die derzeit definierten Zahlenbereiche. Den Körper der komplexen Zahlen hat man später definiert.
Beim Betrag ist es etwas anders. Hier wird für jeden metrischen Körper K eine Betragsfunktion (oder allg. Norm) |·| : K -> IR mit folgenden Eigenschaften definiert:
|x|≥0 für alle x ∈ K, |x|=0 genau dann wenn x=o (o ist die Null aus K)
|xy| = |x||y| und |x+y|≤|x|+|y| für alle x,y ∈ K
Würde man etwas anderes zulassen, dann darf man diese Funktion halt nicht mehr Betrag nennen!
Gruß Frank