ich wage mich grade mit langsamen Schritten an Ökonometrie heran. Also Lineare Regressionsmodelle usw.
Dabei tauchen oft 3 Varianzbegriffe auf, die ich nicht voneinander zu unterscheiden weiß:
Varianz der Schätzung: q² (X’X)^(-1)
Prognosevarianz: q^2[x’ (X’X)^(-1) x+1]
Varianzschätzer: qdach = [1/(n-k)]û’û
Dabei stehen große Buchstaben für Matrizen, Dach für geschätzt.
Ich wäre auch schon mehr als dankbar, wenn mir jemand einfach nur inhaltlich die verschiedenen Varianzbegriffe voneinander abgrenzen könnte!
zentral in der Regressionsanalyse ist der Zusammenhang
Y = Xb = Ydach + e,
wobei Y die gemessenen, Ydach die geschätzen Werte sind, X die Prädiktorvariable, b die Prameter und e = ydach-y (Residuum) sind.
Auf der anderen Seite nimmt man an, dass sich die wahren Werte aus X ergeben, aber mit einer Messungenauigkeit behaftet sind, so dass gilt:
Y = Xb + σ
Eine Voraussetznug der Regressionsanalyse ist σ ~ N(0,σ²) oder q² = Var(σ) = σ².
Da die Parameter von Interesse sind, ist man auch an dem Fehler von b interssiert, der sich als
Varianz der Schätzung = q²(X’X)-1 ergibt.
Der Varianzschätzer ist nichts anderes als die Varianz der Residuen e mit: qdach = 1/(n-k)û’û = SSRes = σ²dach = Var (e) residual sum of sqaures und dient als Schätzer für Var(σ) (daher auch das Dach).
Der Prognoseschätzer ist für prognostizierte Werte gedacht, die sich als Y = (1,x1, x2,…,xn)(X’X)-1X’Y ergeben. Dann ist die rognostizierte Varianz an Y = q²x’(X’X)-1x.
Die Varianz der Schätzung wird dazu verwendet, um die Güte der Prameter abzuschätzen, der Varianzschätzer wird für die Gesamtgüte des Modellsverwendet und der Prognoseschätzer wird verwendet, um die Varianz um einen prognostizierten Wert zu schätzen.