Vektor und seine Ableitung

Wissenschaft Mathematik
#1

Moinmoin,

ich muss folgendes beweisen (was angeblich schoen kurz sein soll, wenn man nur die richtige Idee hat) und sehe offenbar den Wald vor lauter Baeumen nicht.

Sei \vec{r}=\vec{r(t)} ein Vektor in \mathbb{R}^n , sei \stackrel{.}{\vec{r}} die Zeitableitung des Vektors. Seien r und \stackrel{.}{r} die Laengen der beiden Vektoren und r^2=\vec{r}\cdot \vec{r} (Skalarprodukt). Zu beweisen ist die Aussage, dass gilt:

\vec{r} \cdot \stackrel{.}{\vec{r}}=r \cdot \stackrel{.}{r}.

Nun, in 2 Zeilen kann man zeigen, dass gilt:

(\vec{r} \cdot \stackrel{.}{\vec{r}})^2=(r \cdot \stackrel{.}{r})^2,

das ist trivial, da auf der linken Seite der Gleichung letztlich lediglich Skalarprodukt der beiden Vektoren jeweils mit sich selbst steht, was dem Quadrat der Betraege entspricht. Reicht aber natuerlich nicht bzw. wuerde reichen, wenn \vec{r} \cdot \stackrel{.}{\vec{r}}\geq 0 waere. Fuer eine zuendende Idee waere ich dankbar.

Gruss und Danke im Voraus
Paul

#2

Hallo,

sei \stackrel{.}{\vec{r}} die Zeitableitung des Vektors.
Seien r und \stackrel{.}{r} die Laengen der beiden Vektoren

Achtung, Aufpassen, Vorsicht: \stackrel{.}{r} ist !nicht! die Länge des Vektors \stackrel{.}{\vec{r}} sondern die Länge der zeitlichen Ableitung des Vektors \vec{r}:

\stackrel{.}{r} : = \frac{d}{dt} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

aber die Länge des Vektors \stackrel{.}{\vec{r}} ist

|\stackrel{.}{\vec{r}}|
= v
= \sqrt{{\stackrel{.}{x}}^2 + {\stackrel{.}{y}}^2 + {\stackrel{.}{z}}^2}

Bitte never ever verwechseln! Bei z. B. einer Kreisbewegung r (t) = R (cos ωt, sin ωt, 0) ist r’ immer Null (denn r = R = const), aber v hat einen endlichen Wert (nämlich ωR).

Zu beweisen ist

\vec{r} \cdot \stackrel{.}{\vec{r}}=r
\cdot \stackrel{.}{r}

Ob diese Lösung im Sinne des Aufgabenstellers ist, weiß ich natürlich nicht, aber mit r = (x, y, z) und r’ = (x’, y’, z’) lässt sich diese Identität problemlos zeigen.

Gruß
Martin

#3

Wald, Baeume usw. :wink:

Vielen Dank, so muss es sein :smile:

Gruss
Paul

#4

Hossa :smile:

Zu beweisen ist die Aussage, dass gilt:

\vec{r} \cdot \stackrel{.}{\vec{r}}=r
\cdot \stackrel{.}{r}.

\frac{d}{dt}\left(\vec r\cdot\vec r\right)=\dot\vec r\cdot\vec r+\vec r\cdot\dot\vec r=2\vec r\cdot\dot\vec r

\frac{d}{dt}\left(r^2\right)=2r\dot r

Für alle Zeitpunkte t gilt die Identität:

r^2(t)=\vec r(t)\cdot\vec r(t)\quad\mbox{fuer alle }t

Daher ist auch:

\frac{d}{dt}\left(r^2\right)=\frac{d}{dt}\left(\vec r\cdot\vec r\right)

und daher:

r\cdot\dot r=\vec r\cdot\dot\vec r

Viele Grüße

Hasenfuß