Vektoraufgabe, ich komm durcheinander

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Von zwei Ecken eines Dreiecks sind zu den gegenüberliegenden Seiten zwei Transversalen gezogen, die sich jeweils im Verhältnis 3:1 teilen. In welchem Verhältnis teilen sie die gegenüberliegenden Seiten?

Ich habe das so gezeichnet:

http://www.bilder-speicher.de/08092711172634.gratis-…

Ist das schon mal richtig?

Wenn ja,dann weiß ich nicht wie ich weiter definieren soll.

Ich habe bis jetzt so weiter gemacht:

gesucht:

CF=mCA
CE=nCB

CF+FZ+ZE+EC=0

CF=m*a
EC=n*b
FZ=1/4 BF= 1/4(m*a-b)
ZE=1/4 AE= 1/4(-n*b-a)

m*a+n*b+1/4(m*a-b)+1/4(-n*b-a)=0
m*a+n*b+1/4m*a-1/4*b-1/4*a-1/4n*b=0
a(m+1/4m-1/4)+b(n-1/4n-1/4)

I m+1/4m-1/4
II n-1/4-1/4

Das geht ja nicht,da steckt irgendwo ein großer Wurm bei mir drinne. Ich muss ja in I und II n und m drin haben,sonst kann ich es ja nicht auflösen.

Weiß jemand wo mein Fehler ist?

Wäre für jede Hilfe sehr dankbar!

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Hallo,

Von zwei Ecken eines Dreiecks sind zu den gegenüberliegenden
Seiten zwei Transversalen gezogen, die sich jeweils im
Verhältnis 3:1 teilen. In welchem Verhältnis teilen sie die
gegenüberliegenden Seiten?

Ich habe das so gezeichnet:
Ist das schon mal richtig?

ja.

Mit Vektorrechnung ist die Sache in nullkommanix erledigt (im folgenden bezeichnen fette Buchstaben die Ortsvektoren zu den entsprechenden Punkten. Griechische Buchstaben bezeichnen Skalare):

e  = µ  b + (1 – µ)  c

f  = µ  a + (1 – µ)  c

(Klar, wieso?) Das µ (0 ≤ µ ≤ 1) ist Dein Teilungsparameter m.

Die Gerade durch A und E wird beschrieben durch

a + σ ( e – a )

mit σ als Laufparameter, und die Gerade durch B und F durch

b + θ ( f – b )

mit θ als Laufparameter.

Die AE- und die BF-Gerade schneiden sich in Z. Das bedeutet: Für irgendein Wertepaar (σ’, θ’) müssen die beiden obigen Ausdrücke gleich werden:

a + σ’ ( e – a ) =  b + θ’ ( f – b )

Wir wissen (Existenz von Z), dass sich daraus eindeutig θ’ und σ’ ergeben müssen und sind gespannt. Einsetzen von e und f liefert die Gleichung

a + σ’ (µ  b + (1 – µ)  c – a ) =  b + θ’ (µ  a + (1 – µ)  c – b )

Da a , b und c linear unabhängig sind, sind wir zu einem Koeffizientenvergleich berechtigt:

(a-Gleichheit)  1 – σ’ = θ’ µ

(b-Gleichheit)  σ’ µ = 1 – θ’

(c-Gleichheit)  σ’ (1 – µ) = θ’ (1 – µ)

Aus der dritten Gleichung folgt sofort σ’ = θ’. Schau an, beide Transversalen teilen sich also gegenseitig im selben Verhältnis. Dieses identische Verhältnis nennen wir ρ: σ’ = θ’ = ρ.

Mit ρ gehen die beiden anderen Gleichungen über in

1 – ρ = ρ µ

ρ µ = 1 – ρ

Aha, die verschmelzen zu einer – das passt. Aus der verbliebenen einen Gleichung folgt, wie groß ρ in Abhängigkeit von µ ist:

ρ = 1/(1 + µ)

Fertig.

Gruß
Martin

3

Hallo Martin,

danke für deine schnelle Antwort.

Nach mehrmaligem durchlesen habe ich verstanden was du meinst. Aber ich kann es leider nicht übertragen.

Du hast einen anderen Rechenstil glaube ich. Du gehst die Sache anders an.

In der Vektorrechnungen gibt es ja mehrere Rechenarten wie ich in anderen Mathebüchern gesehen habe.

Ich kann demnach mit deiner Antwort leider nicht viel anfangen,aber ich weiß du mir damit sagen willst.

Ich guck mir das morgen nochmal an,ich häng da schon den ganzen Tag heute dran.

Ich kann dir ja mal beschreiben,wir mir das alles gelehrt wurde:

Wenn ich die Zeichnung habe, dann suche ich mir normalerweise ein Dreieck innerhalb des Dreiecks, damit ich den sogenannten Nullvektor bilden kann. Das habe ich versucht zu tun mit:

CF+FZ+ZE+EC=0

Allerdings hatte ich nie 4 „Punkte“ für den Nullvektor,sondern immer nur 3. Aber ob das hier so ausschlaggebend ist,das sei mal danebengestellt.

So,dann habe ich immer die Punkte definiert:

CF= a
FZ= b
ZE= -a+1/4b
usw.

(Nur Beispiel hier jetzt)

Ich muss dazu sagen, über den a und b und den CF, ZE usw. stehen Pfeile nach rechts, also für Vektoren. Ich habe mal die Sachen ohne Pfeile gesehen,ich glaube das steht dann für etwas anderes. Vll. hat das bei dir etwas anderes bewirkt.

Nachdem ich alls „definiert“ habe, bilde ich einfach eine Gleichung:

a+b+m(-a+1/4b)+n(-b+2/3a)

Dann habe ich das alles aufgelöst damit:

a( bla) + b (bla)

steht.

Dann nehme ich das bla,also innerhalb der Klammer und teile das in
Römisch 1 und Römisch 2 auf:

Zum Beispiel:

I 1/4m + 3n+ 6
II 2n + 4m+ 1

Dann kann ich das auflösen und bekomme jeweils m und n raus.

Die sagen mir danach, wie das jeweilige im Verhältnis steht,was ich denn halt gesucht habe.

Ich hoffe du verstehst meine „Rechenart“.

Oder du verwirrst mich mit deinen ganzen Griechischen Symbolen,wenn es daran nicht liegt :wink:

Vll sagst du jetzt auch, dass was du geschrieben hast, ist genau das was ich sonst mache, bloß halt anders aufgeschrieben…

/

4

Hallo,

Ich hoffe du verstehst meine „Rechenart“.

ja. Deine Methode führt auch zum Ziel.

Aufgrund der Aufgabenstellung weißt Du, dass in Deinem Dreieck folgendes gilt:

(1) CF + FZ + ZE + EC = 0

(2) CF + FB + BC = 0
   (3) CE + EA + AC = 0

(4) CF = m CA
   (5) CE = n CB

(6) FZ = 1/4 FB
   (7) EZ = 1/4 EA

Diese Informationsmenge genügt, um die Unbekannten m und n daraus zu bestimmen. Das kannst Du rechnerisch auf viele verschiedene Weisen bewerkstelligen. Bei der von Dir gewählten (Ursprungsposting) setzt Du Dir zum Ziel, die oberste Gleichung (1) nur durch CA und CB auszudrücken. Das funktioniert und gestaltet sich dann so:

CF + FZ + ZE + EC = 0

ist äquivalent zu

CF + FZ – EZ – CE = 0

und darin kann man zunächst CF und CE via (4) und (5) rauswerfen:

m CA + FZ – EZ – n CB = 0

FZ und EZ stören noch, aber versuchen wirs doch mal mit (6) und (7):

m CA + 1/4 FB – 1/4 EA – n CB = 0

Oh, statt FZ und EZ haben wir jetzt FB und EA drinstehn. Also beim letzten Schritt nichts gewonnen? Doch, denn FB ist wegen (2) gleich –CF – BC, und EA ist wegen (3) gleich –CE – AC. Das können wir bestens verwenden (und dann haben wir auch jede der sieben Ausgangsgleichungen einmal benutzt – so muss es sein):

m CA + 1/4 (–CF – BC) – 1/4 (–CE – AC) – n CB = 0

m CA + 1/4 (–CF + CB) – 1/4 (–CE + CA) – n CB = 0

m CA – 1/4 CF + 1/4 CB + 1/4 CE – 1/4 CA – n CB = 0

Hier sind wieder CF und CE aufgetaucht (offenbar nicht totzukriegen), aber den können wir mit (2) und (3) den endgültigen Garaus machen:

m CA – 1/4 m CA + 1/4 CB + 1/4 n CB – 1/4 CA – n CB = 0

(m – 1/4 m – 1/4) CA + (1/4 + 1/4 n – n) CB = 0

Ziel erreicht! In dieser Gleichung treten wie gewünscht nur noch CA und CB auf. Da CA und CB aber linear unabhängig sind, wird der Linke-Seite-Term nur Null, wenn die CA- und CB- Vorfaktoren beide separat Null werden, d. h. wird dürfen schlussfolgern:

m – 1/4 m – 1/4 = 0
   1/4 + 1/4 n – n = 0

Der Rest ist Peanuts. Durchmultiplizieren von 4 liefert:

4 m – m – 1 = 0
   1 + n - 4 n = 0

Und das kann man vereinfachen…

3 m – 1 = 0
   1 – 3 n = 0

3 m = 1
   1 = 3 n

…bis zum Ergebnis

m = n = 1/3

Fertig.

Du hat also schon den richtigen Weg verfolgt, aber vermutlich bist Du über die Vorzeichen gestolpert. Wichtig ist, immer „XY = –YX“ zu berücksichtigen, denn es handelt sich ja um Vektoren.

Vll sagst du jetzt auch, dass was du geschrieben hast, ist
genau das was ich sonst mache, bloß halt anders
aufgeschrieben…

Letzlich läuft es tatsächlich auf dasselbe heraus.

Gruß
Martin

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5

Hallo,

Von zwei Ecken eines Dreiecks sind zu den gegenüberliegenden
Seiten zwei Transversalen gezogen, die sich jeweils im
Verhältnis 3:1 teilen. In welchem Verhältnis teilen sie die
gegenüberliegenden Seiten?
Ich habe das so gezeichnet:
http://www.bilder-speicher.de/08092711172634.gratis-…
Ist das schon mal richtig?

Ja.
Man kann diese Aufgabe auch mit Hilfe des Strahlensatzes lösen.
Bei Deiner Skizze ist ja wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke
F,E,Z und A,B,Z die Gerade F-E parallel zu A-B
Der Strahlenursprung ist in C.
Ist nt das Teilungsverhältnis der Transversale und ns das der Seiten
dann ist die allgemeine Lösung:frowning:nt>1,also A–Z>Z–E)
ns=nt-1
bei Dir also ns=3-1=2
wäre nt=5:4 dann ns=1,25-1=0,25 also 1:4
Am besten kannst Du Dir dies an einem rechtw. Dreieck klarmachen.
Gruß VIKTOR

6

Hallo,

Bei Deiner Skizze ist ja wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke
F,E,Z und A,B,Z die Gerade F-E parallel zu A-B
Der Strahlenursprung ist in C.

ja.

Ist nt das Teilungsverhältnis der Transversale und ns das der
Seiten dann ist die allgemeine Lösung:frowning:nt>1,also A–Z>Z–E)
ns=nt-1

Und wie begründest Du „ns = nt – 1“?

wäre nt=5:4 dann ns=1,25-1=0,25 also 1:4

Bei nt = 5 : 4 ist ns = 4 : 9. Mach eine große Präzisionsskizze und miss es nach.

Gruß
Martin

7

Hallo

Bei Deiner Skizze ist ja wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke
F,E,Z und A,B,Z die Gerade F-E parallel zu A-B
Der Strahlenursprung ist in C.

ja.

Ist nt das Teilungsverhältnis der Transversale und ns das der
Seiten dann ist die allgemeine Lösung:frowning:nt>1,also A–Z>Z–E)
ns=nt-1

Und wie begründest Du „ns = nt – 1“?

Stimmt es bei Deinem Bepiel nicht ?

wäre nt=5:4 dann ns=1,25-1=0,25 also 1:4

Bei nt = 5 : 4 ist ns = 4 : 9. Mach eine große
Präzisionsskizze und miss es nach.

Deine Skizze Stimmt nicht.Prüfe noch einmal. Es ist so wie ich sagte.
Wenn die Formel Dein Beispiel bestätigt passt sie auch allgemein.
Die Formel wird aus unmittelbarer Anschauung gewonnen mit Kenntnis
der Strahlensätze.

Mache Dir eine Skizze eines rechtw. Dreiecks.
Waagerecht Strecke C-B,(20cm) senkrecht Strecke C-A (5cm).
Die Hypotenuse ist dann A-B.
Teile C-B_ 4:1 mit einer Vertikalen.Auch A-B ist dann so geteilt.
Schnittpunkt auf C-B ist S1 auf A-B S2.
Jetzt verbinde A mit S1 und C mit S2 -fertig die Skizze.
Diese Verbindungen sind Deine Transversalen.
Strecke S1-S2 ist parallel zu C-A und nach dem Strahlensatz 1cm.
Die Transversalen sind nach dem Strahlensatz 5:1 geteilt, die
Dreieckseiten 4:1 also nt=5 und ns=4 also nt-1.
Daß dies bei allen Dreiecken so gelten muß ist Dir doch klar.

Glaubst Du nicht ? Nun:
Verdoppele C-A auf 10 cm, es ändert sich nichts an den Verhältnissen.
Dann verschiebe S1 in die Mitte so daß C-B 1:1 geteilt ist.
( immer neue Transversalen zeichnen)
S1-S2 =5cm
Die Transversalen sind 2:1 geteilt also ns=2-1.
Verschiebe S1 so oft Du willst es werden immer die gleichen
Beziehungen der allgemeinen Formel bestehen.
(so z.Bsp. S1 nach 4cm von C, also Teilung 1:4 obiges Bespiel)
Dies gilt auch wenn das Dreieck schiefwinklig ist.
Das „gekippte“ rechtw.Dreieck stützt nur die unmittelbare Anschauung
also,wenn Du so willst, den geometrischen Beweis.

Gruß VIKTOR

8

Danke Martin,jetzt verstehe ich. Aber bei mir gibs noch nen kleinen Hänger:

ist äquivalent zu

CF + FZ – EZ – CE = 0

Warum sind EZ und CE minus? Ich weiß leider nicht was äquivalent ist…
Kannst du das anders ausdrücken?

9

Die Transversalen sind nach dem Strahlensatz 5:1 geteilt,

Woher weiß man das?

die Dreieckseiten 4:1

Ja, dieses Teilungsverhältnis ist so, weil man es so gewählt hat.

also nt=5 und ns=4 also nt-1.

OK. Letztlich ist mir aber nicht klar geworden, wie Du die Beziehung ns = nt – 1 begründen willst. Du kannst die ja nicht einfach hinschreiben ohne anzugeben, warum sie richtig ist.

Gruß
Martin

10

ist äquivalent zu

CF + FZ – EZ – CE = 0

Warum sind EZ und CE minus?

EZ = –ZE

EC = –CE

Mal Dir zwei Punkte E und Z auf einen Notizzettel. Jetzt zeichnest Du den Vektor EZ in grün ein und den Vektor ZE in rot. Beide Vektorlinien sind identisch, aber die grüne Linie hat den Vektorpfeil beim Punkt Z, die rote Linie aber beim Punkt E. Die Vektoren EZ und ZE sind also gleich lang und kolinear, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Dieser Sachverhalt übersetzt in Mathe lautet „EZ = –ZE“.

Ich weiß leider nicht was äquivalent ist…

Äquivalent = lösungsmengengleich: Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen. Durch Äquivalenzumformungen gewinnt man aus Gleichungen neue, dazu äquivalente Gleichungen, in denen exakt dieselbe Information steckt wie in der ursprünglichen.

Gruß
Martin

11

Hallo Martin,

Die Transversalen sind nach dem Strahlensatz 5:1 geteilt,

Woher weiß man das?

wenn Du die Strahlensätze nicht beherrschst kann ich Dir nicht helfen.
Die gekreuzten Strahlen sind durch parallele Strecken begrenzt deren
Längenverhältnis dem Teilungsverhältnis der Strahlen entspricht.
Diese Strecken sind durch die Festlegung in der Skizze bekannt.
Wenn Du meine Skizze Dir nicht so aufzeichnest wie ich es
vorgeschlagen habe wirst Du auch nicht verstehen

die Dreieckseiten 4:1

Ja, dieses Teilungsverhältnis ist so, weil man es so gewählt
hat.

Klar wurde es so gewählt. Die Beziehungen Seitenteilung zu
Transversalenteilung ist aber hier abhängig voneinander zu ersehen.

also nt=5 und ns=4 also nt-1.

OK. Letztlich ist mir aber nicht klar geworden, wie Du die
Beziehung ns = nt – 1 begründen willst. Du kannst die ja
nicht einfach hinschreiben ohne anzugeben, warum sie richtig
ist

Es ist wirklich Dein Problem.Bei entsprechenden Kenntnissen sind
die Verhältnisse aus der Skizze ersichtlich.
Soll ich hier den Strahlensatz erst beweisen ?
Gekreuzte Strahlen (Transversalen)und ein weiteres Strahlenpaar
(die Hypotenuse B-A und dier Seite B-C , meine Skizzenbeschreibung)
benutzen die gleichen Elemente.
Mit solchen Methoden werden geometrische Beweise geführt oder
Gegebenheiten veranschaulicht.
Die rechnerische Nachprüfung mit den Strahlensätzen ist hier dann nur
noch Formalität ebenso wie das Nachmessen in einer maßstäblichen
Zeichnung.

Gruß VIKTOR

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Hallo Martin,

Klar wurde es so gewählt. Die Beziehungen Seitenteilung zu
Transversalenteilung ist aber hier abhängig voneinander zu
ersehen.

gut, Du hast recht,Du möchtest hier allgemeine Ableitung obwohl
diese eben wegen der unmittelbaren „Einsicht“ nur kurz ist.
Setze ich entsprechend meiner beschriebenen Skizze den
„Seitenteiler“ S1_S2 immer gleich 1 dann ergibt sich:
C_S1/S1_B=(C_A-1)/1…Seitenteilung ns
C_A/1… Transversalenteilung nt
also ns=nt-1
Mehr Aufwand brauch es halt nicht mit den Kenntnissen des
Strahlensatzes.
Gruß VIKTOR

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Hallo Martin

…bis zum Ergebnis

was ist das ?
Gefragt wurde das Teilungsverhältnis der Dreieckseiten Seiten.
Was ist dann das:

m = n = 1/3

das war das gegebene Teilungsverhältnis der Transversalen 3:1 !
Wir suchen doch ein Teilungsverhältnis „untere“ Länge zu „obere“
Länge der Seiten !! Oder ?

Fertig.

Ja.
Viel Rechenaufwand und kein Ergebnis ?
Gruß VIKTOR

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Hallo Viktor,

thnx für Deine Mühe, ist alles angekommen.

Damit Du siehst, dass ich nicht faul bin, hab ich den Beweis nochmal aufgeschrieben.

Laut Aufgabenstellung teilen sich die Transversalen im selben Verhältnis nT:

AZ / S1Z = CZ / S2Z =: nT

Aus dieser Teilverhältnisgleichheit folgt aufgrund der Strahlensätze, dass S1S2parallel zu AB ist. Außerdem besagen die Strahlensätze, wie groß AC / S1S2 ist, nämlich ebenfalls gleich nT:

nT = AC / S1S2

Jetzt wenden wir uns dem Dreieck ABC zu, das nach links gekippt aussieht wie ein (sehr spitzer) Berg mit S1S2 als „Schneegrenze“.

Aufgrund der Strahlensätze gilt:

AC / S1S2 = BC / S1B = BA / S2B

also ist auch

nT = BC / S1B = BA / S2B

Damit können wir die Lage von S1 ausrechnen:

S1C / S1B = (BC – S1B) / S1B = BC / S1B – 1 = nT – 1

Analog ergibt sich für die Lage von S2

S2A / S2B = … = nT – 1

Beidemal kommt nT – 1 heraus. Die Dreiecksseiten BC und BA werden also ebenfalls im selben Verhältnis durch S1 bzw. S2 geteilt. Wir nennen es nS und haben damit als Ergebnis gewonnen

nS = nT – 1

Mehr Aufwand brauch es halt nicht mit den Kenntnissen des
Strahlensatzes.

Umso besser. Danke nochmals.

Gruß
Martin

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Gefragt wurde das Teilungsverhältnis der Dreieckseiten Seiten.
Was ist dann das:

m = n = 1/3

das war das gegebene Teilungsverhältnis der Transversalen 3:1!

Nein. Schau noch mal in meinem Posting nach (Link unten). In (4) und (5) ist eindeutig spezifiziert, was m und n sind.

/t/vektoraufgabe-ich-komm-durcheinander/4800329/4

Wegen des vorgegebenen Transversalen-Teilungsverhältnisses von 3 : 1 ist (6) FZ = 1/4 FB und (7) EZ = 1/4 EA. Das Ergebnis der Rechung ist m = n = 1/3, was bedeutet, dass sich die Dreiecksseiten im Verhältnis 2 : 1 teilen. Wäre n = m = 7/25 herausgekommen, würden sich die Seiten im Verhältnis 18 : 7 teilen. Mein Ergebnis steht mit Deinem nS = nT – 1 in Einklang.

Martin